〔 図 1-12 〕に示す ｘ 軸の上に、微小な距離だけ離れた二つの点 ｘ_Ｃ と 点 ｘ_Ｄ をとり、これらの点に対する ｙ の値を ｙ_Ｃ ＝ ｙ(ｘ_Ｃ) および ｙ_Ｄ ＝ ｙ(ｘ_Ｄ) とします。ここで
　　　　ｘ_Ｄ−ｘ_Ｃ ＝ △ｘ,　　　ｙ_Ｄ−ｙ_Ｃ ＝ △ｙ
とすると、区間 △ｘ の大きさは微小で、△ｙ の大きさも微小量になります。二つの比；
　　　　　　△ｙ／△ｘ　　　　　　　　　　　　　　　　（平均変化率）
は、 ｘ が区間 △ｘ で変化するとき、それに応じて ｙ が変化する割合を示します。これを「平均変化率」といいます。

　上記の（平均変化率）の式で、ｘ_Ｃ をそのままにして ｘ_Ｄ を限りなく ｘ_Ｃ に近づけます。すると分母の △ｘ は限りなくゼロに近づき、また分子の △ｙ も限りなくゼロに近づきます。この極限で平均変化率 △ｙ／△ｘ がある値に収束すると仮定し、それを と表し、ｙ の ｘ_Ｃ における「微分係数（ differential coefficient ）」といいます。
　 x − y(x) のグラフを用いてこの極限操作を追跡すると、微分係数 {ｄｙ／ｄｘ }_Ｃ は 点ｘ_Ｃ における��曲線 ｙ(ｘ）の接線の勾配�� に等しくなることが了解されます。

　平均変化率 および 微分係数のもう少し詳しい説明を、《 平均変化率と微分係数 》 に示します。

　（微分係数） の定義式では ｘ_Ｃ を特定の値としましたが、その代わりに、それを変数の ｘ に置き換えてみます。すると、微分係数は変数 ｘ の関数とみなされます。これを ｙ の 「導関数（ derivative ）」といいます。すなわち となります。 　導関数に関する公式としてよく利用されるものを 《 導関数に関する公式 》 に示します。また簡単な関数の導関数の例を 《 簡単な関数の導関数 》 に示します。

　〔 図 1-12 〕に示す ｘ 軸上に 二つの値 ｘ_Ａ と ｘ_Ｂ をとり、ｘ_Ａ に対する ｙ の値を ｙ_Ａ ＝ ｙ(ｘ_Ａ)、ｘ_Ｂ に対する ｙ の値を ｙ_Ｂ ＝ ｙ(ｘ_Ｂ) とします。座標 (ｘ_Ａ,ｙ_Ａ ) と 座標 (ｘ_Ｂ,ｙ_Ｂ ) で示される二つの点は、ｘ−ｙ(ｘ) の曲線上の Ａ と Ｂ であるとします。

　ｘ−ｙ 平面において 四つの点��Ａｘ_Ａｘ_ＢＢ で囲まれた領域�≠ﾌ面積 Ｓ_ＡＢ を得るために、初めに、次のような手順でその近似的な面積Ｓ_ＡＢ ^{( app )} を計算します（ ��app�≠ﾍ��approximate�≠ﾌ略字で、�� 近似する�� を意味します）。 　上記の式 ( 区間ＡＢの面積の近似値 ) において、Ｍ を無限大（ ＋∞ ）の極限に移行させたとき、右辺の和はある値に収束するものと仮定します。その値を と記し、これを『 関数 ｙ(ｘ) を ｘ について ｘ_Ａ から ｘ_Ｂ まで積分する』といいます。 積分の下端と上端が定数である積分は、「 定積分（ definite integral ）」と呼ばれます。

　こうして区間ＡＢの面積 Ｓ_ＡＢ は、ｘ_Ａ から ｘ_Ｂ までの定積分で与えられます。すなわち となります。

　面積 および 定積分に関する少し詳しい解説を、《 面積 および 定積分 》 に示します。

　関数 ｙ(ｘ) を、ｘ について下端 ｘ_Ａ から 上端 ｘ まで積分すると
　　　 　　 ∫_ｘＡ^ｘ ｙ(ｘ) ｄx
となります ^{( 注 1-8 )}。上端の ｘ を任意の変数とすれば、この積分は ｘ の関数となります。これを Ｆ(ｘ) と表せば
　　　　　Ｆ(ｘ) ＝ ∫_ｘＡ^ｘ ｙ(ｘ) ｄx　　　( 積分関数 )
となります。Ｆ(ｘ) は「積分関数」と呼ばれます。

　積分の加算性を用いると、積分関数 Ｆ(ｘ) の ｘ に関する導関数は、被積分関数 ｙ(ｘ) に等しくなることが示されます。すなわち となります。
　上式において関数 ｙ(ｘ) が与えられたとき、この式を満たす Ｆ(ｘ) は一通りには決まりません。なぜなら Ｆ(ｘ) に任意の定数を加えても、その導関数は同じになるからです。そのような関数を総称して、「原始関数」といいます。原子関数は、積分関数と同じ Ｆ(ｘ) で表すのが通例です。したがって、原子関数の導関数についても
　　　　　ｄＦ(ｘ)／ｄｘ ＝ ｙ(ｘ)　　( 原子関数の導関数 )
となります。
　原始関数を積分関数と同じように表せば、∫_ｄ^ｘ ｙ(ｘ) ｄx （ここに ｄ は任意の定数）となりますが、積分の下端の ｄ と上端の x を省いて と表すのが慣例です。このように表した積分を、「不定積分（ indefinite integral ）」と呼びます。不定積分は、上記の (原子関数の導関数 ) とは逆演算の関係になっています。

　関数 ｙ(ｘ) の原始関数 Ｆ(ｘ) が見出されたとします。このとき、ｘ_Ａ から ｘ_Ｂ までの ｙ(ｘ) の定積分は、ｘ に ｘ_Ｂ を代入した原子関数から ｘ_Ａ を代入した原始関数を差し引いた値に等しくなることが導かれます。すなわち が成立します。これは「微分積分法の基本公式」と呼ばれています。

　積分関数、原始関数、不定積分、微分積分法の基本公式などについて、もう少し詳しい説明を 《 不定積分 および 微分積分法の基本公式 》 に示します。

　以上で説明した微分法と積分法では、初めに独立変数 ｘ の微小量 △ｘ をとり、最終的にそれをゼロに移行させる極限操作を行いました。
　微分係数（あるいは導関数）を求める過程をふり返ると
というものでした。△ｘ および △ｙ は微小量です。また △ｘ は微小量なので、その逆数である (１／△ｘ) は非常に大きな量になります。ゆえに △ｙ と（１／△ｘ）の積は、△ｘ をゼロと置いてしまえば、０（ゼロ）と ∞（無限大）の積になり、実数の四則演算では定義できない演算なります。

　ここで △ｘ が限りなくゼロに近い量であるとして、これを記号の ｄｘ で表して「無限小量」と呼ぶことにします。そうすると（１／ｄｘ）は限りなく大きい量になり、これを「無限大量」と呼ぶことにします。
　このような無限小量と無限大量を導入すると、上記の微分係数 ｄｙ／ｄｘ は という演算として表すことができます。

　一方、積分を求める過程をふり返ると というものでした。△x_ｋ は微小量なので、ｙ_k ^{( mean )}△x_ｋ も微小量です。△x_ｋ を無限小量にすれば、和 ��_ｋ＝１^Ｍ における Ｍ は無限大量になります。すると 積分 ∫_ｘＡ^ｘ_Ｂ ｙ(ｘ) ｄx は という演算として表すことができます。

　現在の微分積分法の観点からすれば、無限小量 や 無限大量 は、厳密に定義するのが困難です。しかしながら、力学では 位置、速度、加速度などの時間的な変化を扱うので、無限小量や無限大量は微分積分法における演算の過程を直感的で分かり易く理解するのにとても便利な考え方と言えます。レオンハルト・オイラー（ Leonhard Euler, 1707年 - 1783年 ）は 無限小量や無限大量を導入し、ニュートン以後に剛体力学、弾性体力学、流体力学などの発展に重要な役割を果たしました（《 参考資料 1-5 》）。

　空間の一つの点を Ｐ_ｓ とし、それを位置ベクトルの r _ｓ で表すことにすれば、位置ベクトルは ｔ ≧ ０ において
　　　　　 r (ｔ) ＝ r _ｓ
と表されます。r _ｓ は時間に無関係な一定のベクトルなので、〈 式 1-2 〉と〈 式 1-3 〉から
　　　　　ｖ(ｔ) ＝ ０,　　ａ(ｔ) ＝ ０
となります。

　一つの直線を ｆ とします。直線 ｆ は空間の点 Ｐ_ｓ を通り、単位ベクトル ｅ_ｆ が示す方向に延びているとします。〈物体を代表する点〉は、ｔ ＝ ０ で Ｐ_ｓ の位置から出発し、直線に沿って進みます。位置ベクトルは ｔ ≧ ０ において
　　　　　r (ｔ) ＝ r _ｓ ＋ ｈ(ｔ) ｅ_ｆ
と表されます。ここに ｈ(ｔ) は時間 ｔ の任意の関数で、ｈ(０) ＝ ０ とします。上式に〈 式 1-2 〉と〈 式 1-3 〉を適用すると、単位ベクトル ｅ_ｆ は一定の方向なので
　　　　ｖ(ｔ) ＝ { ｄｈ(ｔ) ／ｄｔ } ｅ_ｆ,　　ａ(ｔ) ＝ { ｄ²ｈ(ｔ) ／ｄｔ² } ｅ_ｆ
となります。
　関数 ｈ(ｔ) を具体的に指定すば 〈物体を代表する点〉の運動が定まります。次の三つのケースを挙げてみます：
　　・　(ケース１）：ｈ(ｔ) が ｔ の一次式；　ｈ(ｔ) ＝ ｖ_０ｔ　（ｖ_０ は定数）
　　・　(ケース２）：ｈ(ｔ) が ｔ の二次式；　ｈ(ｔ) ＝ (ａ_０/２) ｔ ²　（ａ_０ は定数）
　　・　(ケース３）：ｈ(ｔ) が 正弦関数；　　ｈ(ｔ) ＝ ｈ_０ sin (ω_０ｔ)　（ｈ_０、ω_０ は定数）
これらのケースにおいて、位置、速度、加速度ベクトルは次のようになります：

　ある一つの平面上において、〈物体を代表する点〉が半径 Ｒ の 円Ｃ の周に沿って運動する場合を考えます。この運動を、簡単に��円運動�≠ﾆ呼ぶことにします。
　この平面は、直交座標系（ Ｏｘｙｚ ）で ｚ ＝ Ｈ とした面であるとします。平面と ｚ 軸の 交点Ｑ を通り、ｘ 軸、ｙ 軸、ｚ 軸 に平行な軸を、それぞれ、ｘ’ 軸、ｙ’ 軸、ｚ’ 軸 とします。半径が Ｒ で高さが Ｈ の円柱を ｚ ＝ ０ の面に乗せれば、円柱の上面には 点Ｑ を中心とする 半径 Ｒ の 円Ｃ が作られます。
　円Ｃ の周に沿って回る〈物体を代表する点〉の運動を、円柱座標系（《 円柱座標系 と 球座標系 −その１− 》 を参照）の座標成分 ｒ、φ、ｚ を用いて表します。これら３個の座標成分のうち、φ は ｘ’ 軸から円周に沿って回る角度になり、残る二つの座標成分は ｒ ＝ Ｒ および ｚ ＝ Ｈ という一定の値になります。〔 図 1-15 〕 に、直交座標系を基準にして設定した円柱座標系を示します。

　時刻 ｔ において、〈物体を代表する点〉は円周上の 点Ｐ にいるとします。Ｑ から Ｐ の方向を向く単位ベクトルを ｅ_ｒ 、Ｐ において 円Ｃ の接線方向を向く単位ベクトルを ｅ_φ、ｚ 軸に沿う上向きの単位ベクトルを ｋ とすれば、これらは互いに直交するベクトルになります。これらの単位ベクトルは、〔 図 1-15 〕に示した円柱座標系の基本ベクトルになります。

　時刻 ｔ における〈物体を代表する点〉の位置ベクトル r (ｔ) は、座標成分と基本ベクトルを用いて
　　　　r (ｔ) ＝ Ｈｋ ＋ Ｒ ｅ_ｒ
と表されます。この式に〈 式 1-2 〉と〈 式 1-3 〉を適用します。Ｈ、Ｒ、ｋ は時間に無関係な量であり、また、 de _r／dt ＝ (dφ／dt) e _φ 、de _φ／dt ＝ − (dφ／dt) e _r（《 円柱座標系 と 球座標系 −その２− 》 を参照）となることを考慮すれば
　　　　ｖ (ｔ) ＝ Ｒ {ｄφ／ｄｔ} ｅ_φ
　　　　ａ (ｔ) ＝ Ｒ {ｄ²φ／ｄｔ ² } ｅ_φ − Ｒ {ｄφ／ｄｔ} ² ｅ_ｒ
が得られます。ｄφ／ｄｔ ≡ ω と置くと、上式は簡潔に表されて
　　　　ｖ (ｔ) ＝ Ｒω ｅ_ｒ
　　　　ａ (ｔ) ＝ Ｒ (ｄω／ｄｔ ) ｅ_φ − Ｒω ² ｅ_ｒ
と表されます。ここに ω は、Ｑ の周りを回る〈物体を代表する点〉の「角速度」です。 　〔 図 1-16 〕 に、円周に沿って運動する〈物体を代表する点〉の 時刻 ｔ における位置ベクトル、速度ベクトル、加速度ベクトル を（茶色、紫色、ピンク色）で示します。
　速度は Ｐ における 円Ｃ の接線方向を向いており、その大きさは
　　　　Ｖ_φ ＝ Ｒω
です。加速度は二つの項の和になっています。一つは円の接線方向を向き大きさが
　　　　Ａ_φ ＝ Ｒ (ｄω／ｄｔ)
の「接線加速度」の項で、もう一つは円の中心方向を向き大きさが
　　　　Ａ_ｒ ＝ Ｒω ²
の「向心加速度」の項です。

　φ が 時間 ｔ の関数として与えられれば、〈物体を代表する点〉の運動は確定されます。簡単な関数として、次のものをとり上げます。 　特に〈物体を代表する点〉が円周にそって同じ方向に等速度で回り続ける回転運動は、「等速円運動」と呼ばれます。速度の大きさを Ｖ_φ０、角速度を ω_０ とすれば
　　　　　Ｖ_φ０ ＝ Ｒ ω_０
となります。また接線加速度の大きさを Ａ_φ０、向心加速度の大きさを Ａ_ｒ０ とすれば
　　　　　Ａ_φ０ ＝ ０,　　 Ａ_ｒ０ ＝ Ｒ ω_０ ²
となります。

（例ハ）では、円柱座標系の座標成分のうち ｒ と ｚ を一定値の Ｒ と Ｈ に固定しました。ここで ｒ＝ Ｒ としたままで ｚ を変化させると、〈物体を代表する点〉は円軌道を描きながら ｚ軸 の方向に進む運動、いわゆる��螺旋（らせん）�≠ﾌ軌道を描いて上昇する運動を行います。円柱座標系を用いてこの運動を調べてみましょう。

　簡単のため、〈物体を代表する点〉は ｚ 軸 方向に一定の速さ Ｖ_ｚ０ で進み、ｚ 軸に垂直な平面（ ｘ−ｙ 平面 ）上を回る運動は等速円運動であるとします。等速円運動をするときの速度の大きさを Ｖ_φ０、角速度の大きさを ω_０、周期を Ｔ_０ ＝ ２π／ω_０ とすると、〈物体を代表する点〉の 位置ベクトル r (ｔ)、速度ベクトル ｖ (ｔ) 、加速度ベクトル ａ (ｔ) は、それぞれ
　　　 　r (ｔ) ＝ ( Ｈ ＋ Ｖ_ｚ０ｔ ) ｋ ＋ Ｒ ｅ_ｒ
　　　　ｖ (ｔ) ＝ Ｖ_ｚ０ｋ ＋ Ｒω_０ｅ_φ
　　　　ａ (ｔ) ＝ −Ｒω_０ ²ｅ_ｒ
となります。基本ベクトルの ｋ は時間に無関係な一定のベクトルですが、基本ベクトルの ｅ_ｒ と ｅ_φ は時間とともに変化します。
　〈物体を代表する点〉の速度は、円軌道の接線方向を向く速度 Ｒω_０ｅ_φ と ｚ 軸方向を向く速度 Ｖ_ｚ０ｋ を加え合わせたものです。加速度は、ｚ 軸に垂直な平面（ ｘ−ｙ 平面 ）において〈物体を代表する点〉の位置から ｚ 軸に垂線を下ろした方向を向きます。
　〔 図 1-17 〕 に、〈物体を代表する点〉が描く軌道、および、位置、速度、加速度ベクトル を示します。〔 図 〕には、初めの時刻 ０ で ｚ ＝ Ｈ、φ ＝ ０ の位置 Ｐ_ｓ から出発し、ｚ 軸 の周りを１回転して時刻 Ｔ_０ で位置 Ｐ_１ に、１周期と２周期のあいだの時刻 ｔ で 位置 Ｐ に到るまでの軌道（茶色の太い曲線) 、および、時刻 ０、時刻 Ｔ_０、時刻 ｔ　における位置、速度、加速度ベクトル（茶色、紫色、ピンク色）が描いてあります。〈物体を代表する点〉の速度 ｖ は Ｒω_０ｅ_φ と Ｖ_ｚ０ｋ を加え合わせたものですが、いつも軌道上における接線方向を向きます。