空間に直交座標系（ Ｏｘｙｚ ）を設定し、前のページの〔 図 1-6a 〕に示したような図形的な操作を行って、空間の一つの点Ｐの位置を座標 ( ｘ, ｙ, ｚ ) で表しました（ 《 改定 第１章 ―第１ステップ― 》 ）。点Ｐの位置を表す別の方法として、次のような「位置ベクトル」を用いる方法があります。

　原点Ｏ から 点Ｐ に向けて線分を引き、その先端に矢印を付けます。空間に描いたこの矢印付き線分のことを、位置ベクトル ( position vector ) といいます。〔 図 1-6b 〕 に、位置ベクトルを茶色の矢印付きの線分で示します。
　矢印付き線分の始まる点を位置ベクトルの 始点 といい、終わる点を 終点 といいます。〔 図 1-6b 〕では、原点Ｏ が始点であり、点Ｐ が終点です。点Ｐ の位置は、位置ベクトルの終点の位置でもって表わされます。

　〔 図 1-6b 〕に示した位置ベクトルは、二つの量を兼ね備えた量です。その一つは
　��線分ＯＰの長さ（ＯとＰの間の距離）��
であり、もう一つは
　��線分の始点Ｏから終点Ｐを向く方向��
です。このように『 大きさと方向を兼ね備えた量 』のことを一般に ベクトル ( vector ) と呼びます。 　矢印付き線分として図に描いた位置ベクトルを、何らかの代数的な記号として表すのは便利です。通常は、二つの表記が用いられます： 　〔 図 1-6b 〕には、矢印付き線分の傍に上記の二つの代数的な記号を記しました。多くの場合に、位置ベクトルを表記するのに ｒ が用いられます。イタリック体を太字にしたこの表記法は、位置ベクトルに限らず、他のベクトルを表すときにもよく用いられます。このホームページでも、主としてこの表記法を用います。

　位置ベクトルの単位は位置座標の単位と同じであり、 国際単位系（ＳＩ）を用いると
　　　　[ ｍ ]　　　　( 位置の単位 )
となります。

　空間の点Ｐの位置は、〔 図 1-6b 〕のように位置ベクトル ｒ で表されるとともに、前ページの〔 図 1-6a 〕（ 《 改定 第１章 −第１ステップ− 》 ）のように位置座標（ ｘ，ｙ，ｚ ）でも表されます。直交座標系（ Ｏｘｙｚ ）の空間において二つの図（〔 図 1-6a 〕と〔 図 1-6b 〕）を重ねると、〔 図 1-6c 〕 のようになります。

　位置ベクトル r と位置座標（ ｘ，ｙ，ｚ ）のあいだには
　　　��１対１��
の関係があります。すなわち、位置ベクトルの r　を与えると 位置座標（ x，y，z ）が一通りに定まり、位置座標の（ x，y，z ）を与えると位置ベクトル r　が一通りに定まります。両者のこのような関係は、二つを 等号 ＝ で結んで という式で表されます。

　ニュートン力学では、位置ベクトルの他にいくつかのベクトルが用いられます。直ぐ後で述べる「変位ベクトル」、それに続いて「速度ベクトル」と「加速度ベクトル」（（ 《 改定 第１章 ―第３ステップ― 》 ）、さらには「力ベクトル」、「運動量ベクトル」( [ 改定 第２章 ―第１ステップ―] 》 ）などが現れます。いずれも大きさと方向を兼ね備えたベクトルの力学量で、代数的な記号で Ａ と表すことにします。

　ベクトル Ａ は、〔 図 1-6c 〕と同様に、直交座標系の空間に始点と終点を持つベクトルとして図示することができます。このときの座標成分を Ａ_ｘ、Ａ_ｙ、Ａ_ｚ と表せば、ベクトルと座標の関係は、上記の（位置ベクトルと位置座標の関係） と同形の式； で表されます。

　前のページで導入した〈物体を代表する点〉は空間の点なので、その位置を位置ベクトルを用いて表すことができます。空間の点は時間が経過しても静止したままですが、＜物体を代表する点＞は時間が経過すると一般には空間を移動します。したがって、その位置は時間 t の関数になり、位置ベクトルを用いて表せば となります。

　初めの時刻 t_ｓ で位置ベクトルは ｒ ( t _ｓ ) となり、その終点は空間の点 Ｐ_ｓ を指します。初めの時刻 t_ｓ から 時刻 t まで、時間を連続的に変化させます。位置ベクトルの終点は空間の点を次々と辿り（たどり）、時刻 t で位置ベクトル ｒ ( t ) の終点は空間の点 Ｐ を指します。時間の経過とともに作られる位置ベクトルの終点を繋げる（つなげる）と、〔 図 1-8b 〕 に示すような〈物体を代表する点〉の軌道（茶色の曲線）になります。
　〔 図 1-8b 〕には、初めの時刻 t_ｓ と 終わりの時刻 ｔ における位置ベクトル（茶色の矢印付き線分）だけを示しました。当然ながら、途中の任意の時刻における位置ベクトルも同様に描くことができます。すべての時刻における位置ベクトルの始点は、直交座標系（ Ｏｘｙｚ ）の 原点Ｏ です。

　〈物体を代表する点〉が 時刻 t　で位置ベクトル ｒ（ t ）の終点 Ｐ の位置におり、△t　だけ時間が経過する間に、位置ベクトル ｒ（ t ＋ △t ）の終点 Ｑ の位置まで移動したとします。これを〔 図 1-9 〕 に示します。
　このように、空間の点の位置が時間の経過とともに変化することを 変位 ( displacement ) といいます。 　〔 図 1-9 〕では、〈物体を代表する点〉は 時間 △ｔ の間に Ｐ から Ｑ に変位しています。ここで Ｐ を始点とし Ｑ を終点とするベクトル △ｒ を作って、これを 変位ベクトル ( displacement vector ) と呼びます。 　次のページでは、微小な時間 △t　における変位ベクトル △ｒ をとり上げます。その場合には、変位ベクトルは実際の軌道を近似したものになります（ 《 改定 第１章 ―第３ステップ― 》 ）。

　変位ベクトルの単位は位置ベクトルの単位と同じであり、 国際単位系（ＳＩ）を用いると
　　　　[ ｍ ]　　　　( 変位の単位 )
となります。

　変位ベクトルは位置ベクトルと良く似たベクトルで、ともに大きさが空間の距離の単位　[ ｍ ]　で表されます。しかし、二つは用いられる目的が異なります。位置ベクトルは、点が空間の何処（ どこ ）にいるかを示す目的で用いられます。そのため、位置ベクトルの始点はどの時刻でも共通に 原点Ｏ が選ばれます。これに対して変位ベクトルは、点の位置が空間でどれだけ変化したのかを示す目的で用いられます。そのため、変位する前後の位置を表す始点と終点は、一般には時間の経過とともに次々に変わります。

　上記の〔 図 1-9 〕で Ｏ、Ｐ、Ｑ の三つの点を直線で結ぶと、三角形 ＯＰＱ になります。三角形のそれぞれの辺は、位置ベクトル ｒ( t ) 、変位ベクトル △ｒ、位置ベクトル ｒ( t＋△t ) から成っています。ベクトルの方向に沿って二つの経路を辿って（たどって）みます。 どちらの経路も、同じ点 Ｏ から出発し同じ点 Ｑ に着きます。

　図形的なこの関係は、位置ベクトル ｒ( t ) に変位ベクトル △ｒ を加え合わせれば、それが位置ベクトルの ｒ( t＋△t ) に等しくなるという代数式； に置き換えて表すことができます。

　ベクトルに関する種々の関係は、この例に示したように、『 図形で表す方法 』と『 代数式で表す方法 』の二つが用いられます。図形で表す方法では、ベクトルに関する関係は図面に描いたベクトルの 図形的な操作 として表されます。代数式で表す方法では、ベクトルに関する関係は 式の演算 で表されます。

　力学において、物体の運動を記述するために種々の量が用いられます。そのうち特に基本となる量として用いられるものを、力学量（ mechanical quantity ）^{（ 注 1-6 ）} といいます。これまで登場した力学量は、時間、位置の座標、位置ベクトル、変位ベクトル などですが、これ以後にも、新たにいろいろな力学量が登場します。
　力学量のうち、このページで導入した位置ベクトルや変位ベクトルは、大きさと方向を兼ね備えた量です。すでに述べたように、これらは「ベクトル」と呼ばれます。これに対して、大きさだけを持つ力学量もあります。時間、位置ベクトルの大きさ、変位ベクトルの大きさ などです。このような力学量のことを、スカラー（ scalar ）といいます。

　以下の（１）−（４）において、ベクトルに関する関係をまとめて示します。なお、ベクトルを Ａ、Ｂ 、Ｃ 、スカラーを ｃ などで表します。ベクトルの大きさ、例えば ベクトル Ａ の大きさを、絶対値の記号を用いて｜Ａ｜と表します。

　（１）ベクトルの加法・減法
　（２）ベクトルとスカラーの積
　（３）単位ベクトルと基本ベクトル
　（４）ベクトルの内積
　（５）ベクトルの外積

　これまで説明した ベクトルとベクトルの演算 は、力学量として現れるいろいろなベクトルに共通に適用されます。力学量のベクトルを一般に Ａ と表し、直交座標系（ Ｏ ｘ ｙ ｚ ）における ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸 の座標成分を Ａ_ｘ、Ａ_ｙ、Ａ_ｚ とします。ベクトルとその座標成分について、三次元の空間で位置ベクトルのときに示した〔 図 1-6c 〕と同様に描けば、 〔 図 1-6d 〕 のようになります。

　〔 図 1-6c 〕と〔 図 1-6d 〕を比較してみます。前者の座標軸は ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸 であり、空間は位置の空間でになります。これに対して後者では、座標軸は Ａ_ｘ軸、Ａ_ｙ軸、Ａ_ｚ軸であり、空間は力学量の Ａ で表される空間になります。だたし座標軸の示す方向は、二つの図では共通であり、直交座標系における基本ベクトルの ｉ、ｊ、ｋ で表されます。

　こうして〔 図 1-6d 〕から、ベクトル Ａ とその座標成分の関係は、 と表されます。ベクトルとその座標成分のあいだには��１対１�≠ﾌ関係があります。すなわち、ベクトルを与えると 座標成分が一通りに定まり、座標成分を与えるとベクトルが一通りに定まります。 　座標成分 Ａ_ｘ、Ａ_ｙ、Ａ_ｚ は、〈 式 1-1 〉において基本ベクトル ｉ、ｊ、ｋ の係数になっています。それぞれの基本ベクトルと〈 式 1-1 〉のベクトルの内積を作れば が得られます。ここに θ _ｘ、θ _ｙ、θ _ｚ は、それぞれ、ベクトル Ａ と ｉ、ｊ、ｋ のなす角です。

　〔 図 1-6d 〕と〈 式 1-1 〉に示したベクトルと座標成分の関係は、直交座標系（ Ｏ ｘ ｙ ｚ ）において成立するものです。これ以外の座標系、例えば円柱座標系や球座標系 (《 円柱座標系 と 球座標系 −その１− 》) を選んだ場合には、このような簡単な関係は成立しません。それについては、次ページにおいて 《 円柱座標系 と 球座標系 −その２− 》 で説明します。

　ベクトルを用いて物体の運動を表す利点は、空間における図形的な変化を直接に追跡することにあります。現象を直感的に理解するには、身近な物体を観察して得た情報を図形で捉える（ とらえる ）のが早道であると言えます。
　しかしその一方で、図形的な変化を直接に追跡するのが困難なこともあります。図形が混み入りゴチャゴチャしてくると、図形の変化を正確に把握するのは難しくなります。 　代数式を活用すると、図形的な変化を追跡するときに出会う困難を大幅に緩和することができます。何故なら、式を演算する操作は定められた規則に従って行えば良いので、少し訓練すれば簡単にでき、紙面、地面、黒板 などに書きながら機械的に進められます。その過程では、図形の複雑な関係に思い悩む苦労はありません。

　代数式における演算は、図形における操作と１対１に対応します。代数式の演算は、したがって、図形における一つ一つの複雑な操作を代行してくれます。これは誠にありがたいことです。

　代数式はこのように非常に有用でなのすが、その利点が逆に望ましくない結果を招くこともあります。代数式を演算する操作は容易なので、代数式やその演算が図形の変化にどう対応しているかを考えることが疎かに（ おろそかに ）なりがちです。
　力学は物体の運動を論ずるのが目的です。代数式の演算を通してある結果が得られたときには、それが空間における物体の運動にどのように関係しているのか、という問題を絶えず吟味することが必要です。