私たちが夜空を見上げると、晴れた日には、星が天空に光る点として貼り付いているように見えます。それらの多くは、われわれの地球を含めて球形をしています。そこで簡単のため 形が��球�≠ﾅ、内部の質量が球の中心のまわりに球対称に分布する球体を考えます。以後、このような球体から成る��理想化された天体�≠�用いて話を進めることにします。

　空間に 半径 Ｒ の一つの球体があり、その質量 Ｍ は 球の中心 Ｏ の回りに球対称に分布しているとします。質量中心の定義式 <式 2-4 > (《 改定 第２章 −第２ステップ− 》) を用いると、この球体の質量中心の位置は 球の中心 Ｏ に一致することが確かめられます (《 密度が一様で単純な形の物体の質量中心 》を参照) 。
　この球体が周囲の空間に及ぼす重力（万有引力）を求めるために、空間に 球体と比べて十分に小さい��微小な物体�≠�置いたと想定し、これが球体から受ける重力を計算します (このような微小な物体のことを、��試験物体�≠ﾆ呼ぶことがあります)。その計算の詳細については
　　　　　《 質量が球対称に分布する物体が及ぼす重力の計算 》
に示します。この計算の結果として、次の非常に簡明な結論が得られます； 　この結論によれば、球体の中心Ｏ に置いた質量 Ｍ の仮想的な質点が 微小な物体に重力を及ぼすと考えれば良いことになります。ゆえに 微小な物体が球体から受ける重力は、微小な物体のいる場所から Ｏ に向けた��引力�≠ﾌ方向になります。引力の大きさは��微小な物体がいる場所が 球体の内部か外部か�≠ﾅ異なり、次のようになります：

◇　微小な物体が球体の内部にいるとき（ｒ≦ Ｒ）：
◇　微小な物体が球体の外部にいるとき（ｒ≧ Ｒ）：
　重力が作用する方向は、微小な物体から 球体の中心Ｏ を向く引力の方向です。その方向の��単位ベクトル�≠� ｅ_r とすれば、微小な物体が球体から受ける重力は次のようになります： 　〔 図 3-3 〕 に、微小な物体 (青色の丸) が球体の内部にいるとき ( (a) ) 、および、 球体の外部にいるとき ( (b) ) のそれぞれの場合について、球体から及ぼされす重力を（矢印付きの赤い）ベクトルで示します。重力の方向は 球体の中心Ｏ を向きます。

　球体の中心 Ｏ から微小な物体の位置までの距離を ｒ とすると、重力の大きさは ｒ とともに、次のように変化していきます：
　微小な物体が球体から受ける重力は、測定機を ｒ の位置に置いて、次のように重力を測った場合に相当します。すなわち

　質量が球対称に分布する一つの球体があるとき、それから重力を受けている微小な物体の運動を考察します。

　 微小な物体の質量は、球体の質量よりも極めて十分に小さいとします。このとき 球体が微小な物体から受ける重力は十分に小さいので、球体の加速度は ０ であると見なせます ^{(注 3-2 )}。したがって 球体は一般には一定の速度で 空間を移動しますが、簡単のため その速度を ０ に選ぶことにします。すなわち、球体は空間で��静止した状態�≠ﾆします。このような球体から重力の作用を受ける物体の例を挙げてみます： 　この例のうち、地球表面の上方の高所から 落下する物体 とか 空を飛ぶ鳥 や 航空機 は、地球の重力を受けるだけでなく、大気から接触力も受けます。したがって、その運動はかなり複雑なものになります。これに対して 宇宙空間を飛行するロケット、地球のまわりを回る月、太陽のまわりを回る惑星 などは、ほとんど重力（万有引力）だけを受け、接触力の作用は十分に小さくて無視することができます。したがって、その運動はかなり簡単になります。
　この 《改定第３章−第２ステップ−》 では、接触力を考慮しない簡単な場合、すなわち��地表面付近で空気抵抗を受けない物体の運動�＝A��宇宙空間を飛行するロケットの運動�＝A��太陽のまわりを回る惑星の運動�� などの例をとり上げます。

　〔 図 3-4 〕 に、質量が球対称に分布する一つの球体 と それから重力を受けている物体を示します。これは 前図で右側に示した〔 図 3-3 〕の (b) と基本的に同じ図ですが、球体は空間で静止し、物体の質量や大きさは球体に比べて十分に小さいと見なします。この図では 球体の外部に存在する物体を Ｐ とし、球体の中心 Ｏ から Ｐ に向いた位置ベクトルを ｒ、物体Ｐが球体から受ける重力を Ｆ と表しました。 　質量 ｍ の物体Ｐが 質量 Ｍ の球体から受ける重力は と表されます。物体Ｐの運動方程式は となります。ここに ｖ は物体Ｐの速度で、時間 ｔ に関する物体Ｐの位置ベクトルの１階の微分；
　　　　ｖ＝　ｄｒ／ｄｔ　　　　（物体の速度）
で与えられます。

　上記の (球体の中心から距離が r だけ離れた物体が受ける重力) を見ると、物体Ｐに作用する力は常に球体の中心方向を向き、その大きさは 距離 r の関数になっています。このような力を、中心力（central force）といいます。
　中心力を受けている物体の運動では、二つの力学量が時間的に一定の量に保存されます。一つ目の力学量は 物体の 角運動量（angular momentum）であり、二つ目の力学量は 物体の 力学的エネルギー（mechanical energy）です。

　物体の角運動量の保存則 から、ｍ が一定量なので、ベクトルの外積 ｒ × ｖ の方向 および 大きさ が時間的に変化しない量であることが分かります。ｒ × ｖ の方向を ｚ軸 に選び、それに垂直な二つの方向に ｘ軸 と ｙ軸 をとって、直交座標系（Ｏｘｙｚ）を設定します。〔 図 3-5 〕 に、このように定めた直交座標系（Ｏｘｙｚ）を示します。
　ｚ軸 の方向が時間的に不変なので、物体Ｐは ｘ−ｙ平面 ([ 図 ] に黄色で示す) に沿って運動し、この平面から逸脱することはありません。

　物体が中心力の作用を受けて運動するときには、上述の〔 図 3-5 〕に示したように、物体は ｚ軸 に垂直な ｘ−ｙ平面 に沿って運動します。物体が重力の作用を受けている場合には、この平面に沿って 二つの保存則 が成立します。再掲すれば
　　　　　　ｍ(ｘｖ_ｙ−ｙｖ_ｘ) ＝ 一定 ≡ ｍｈ　　　　　　（物体の角運動量の保存則）
　　　　　　(１／２)ｍｖ^２−ＧｍＭ／ｒ ＝ 一定 ≡ Ｅ　　（物体の力学的エネルギーの保存則）
となります。
　二つの保存則を 直交座標系（ Ｏｘ>ｙ ）から 極座標系（ Ｏｒφ ）に変換すると便利です。二つの座標系を 〔 図 3-6 〕 に示します。 　角運動量の保存則 と 力学的エネルギーの保存則 は、直交座標系の座標成分から極座用系の座標成分に書き換えることができます。その方法を、《 極座標で表した二つの保存則 》 において説明します。その結果は次のようになります： 　極座標で表した 二つの保存則 は、変数 ｒ と φ の時間 ｔ に関する１階の微分方程式になっています。それを解いて 変数を時間 ｔ の関数として
　　　　ｒ(ｔ),　φ(ｔ)
を得れば、物体が時間とともに空間をどのように進行するかを知ることができます。変数から ｔ を消去すれば 直接に ｒ と φ の関係が得られて、それが��物体の軌道の式�≠ﾉなります。

　上述の 極座標系で表した二つの保存則 から 時間 ｔ を消去すると、変数 ｒ を 変数 φ で表した次の式； が導き出されます。これを導く方法を、《 重力の作用を受けた物体が描く軌道 》 に示します。
　( 物体の軌道を表す式 a ）の ε　と ｓ は、それぞれ、離心率 (eccentricity) および 半直弦 と呼ばれ、保存則における二つの定数 ｈ と Ｅ を用いて と表されます。ε と ｓ は正の量であり、β は任意の大きさの 位相角 です。

　ここで
　　　　　θ ＝ φ−β　　　　　　　　　　　　　　( θ と φ の関係 )
と置けば、( 物体の軌道を表す式 a ) は となります。

　( 物体の軌道を表す式 ）には、半直弦 ｓ と 離心率 ε の二つのパラメーターがあります。

　球対称の質量分布をしている球体から重力を受けた物体は、上述したように、( 軌道を表す式 ) の示す軌道曲線に沿って運動します。この ( 軌道を表す式 ) は、ヨハネス・ケプラー（1571−1630）が 太陽系における惑星の運動に関する膨大な観測データの解析を通して見出したものであり、さらに ニュートン（ Sir Isaac Newton (1642年−1727年）が 運動方程式 ( 運動の第２法則 ) と 万有引力の法則 を結びつけて��力学的に�％ｱき出したもので、ニュートン力学における大きな成果の一つであると言われています。

　ところが ( 軌道を表す式 ) と実質的に同じ曲線が、はるか昔に アポロニウス ( 紀元前262年ー200年?) ) の著作に示されていたのは実に驚くべきことです。彼の著作の「円錐曲線論」では、次のように述べられています： 　このような曲線は、円錐曲線 (conic curve) と呼ばれています。 　アポロニウス の時代から 1000年近くを経て、ガリレオ・ガリレイ (1564年-1642年)、ケプラー、ニュートン などによって��重力を受けた物体が空間で描く軌道は 円錐曲線 である�≠ｱとが明らかにされました。近代になって 円錐曲線が再認識されたのです。この時代になると、座標系、定数や変数で表した式、さらに 方程式や微分方程式 などが導入されて、物体の運動が精密で簡潔に表されるようになりました。

　幾何学的な方法でアポロニウスらによって得られた円錐曲線は、二次元の極座標系 ( Ｏｒθ ) を用いると となります。これは、上述の力学的な方法で見出された (軌道を表す式) と同一になります。図形的に見出されたこの式 (力学的に見出された式と形が同じですが ) を、改めて「円錐曲線の式」と呼ぶことにします。
　(円錐曲線の式 ）は、離心率 ε と 半直弦 ｓ の二つのパラメーターを有しています。曲線の形状は、離心率 ε の大きさに応じて となります。楕円は二つの焦点からの��距離の和が一定となる図形�≠ﾅあり、双曲線は二つの焦点からの��距離の差が一定となる図形�≠ﾅす。円錐の切断面に現れる図形が (円錐曲線の式) で表されることを、《 円錐の切り口の図形 》 で説明します。

　(円錐曲線の式) を、[ 図 3-6 ] に示した二次元の極座標 ( Ｏｒθ ) から 直交座標系 ( Ｏｘｙ ) に変換します。さらに ｘ軸上に Ｑ点 をとり、これを原点とする 直交座標系 ( Ｑｘ'ｙ' ) を設定します。ここに ｘ'軸 は ｘ軸 に平行に、ｙ' 軸は ｙ 軸に平行にとります。
　このようにして (円錐曲線の式) を 直交座標系 ( Ｑｘ'ｙ' ) の座標成分を用いて表すと、これらの曲線は 私たちに馴染みのある「楕円の標準形」、「双曲線の標準形」、「放物線の標準形」になります。これを導く方法については、《 楕円、双曲線、放物線の標準形 》 で説明します。

　以下において、これらの曲線の形状を示します：

（�@）楕円（ε ＜ １）
　楕円は『 楕円は 切断面上の二つの焦点からの距離の和が一定となる曲線である 』と定義されています。この定義に従って楕円の軌道を求め、それを「楕円の標準形」で表した式は となります。ここに ａ は「楕円の長半径」、ｂ は「楕円の短半径」と呼ばれます。ａ と ｂ は長さの次元を持つ正の量で、ｂ は ａ と 離心率 ε を用いて
　　　　　　ｂ^２ ＝ ａ^２ (１−ε^２)　　　　　　　　　　　　(楕円の短半径)
と表されます。ε ＜ １ なので、ａ は ｂ より大きくなります (《 楕円、双曲線、放物線の標準形 》 を参照)。

　〔 図 3-6a 〕に、楕円の軌道 (茶色の太線で示す) を 直交座標系 ( Ｑｘ'ｙ' ) と 直交座標系 ( Ｏｘｙ ) とともに示します。 　曲線に沿って Ｐ点 は次のように移動します。 　楕円の軌道は、ｘ'軸 について線対称であるとともに、ｙ'軸についても線対称になっています。

　楕円の形状は、ε の大きさとともに次のように変化します：
（�A）双曲線（ε ＞ １）
　双曲線は『 双曲線は 切断面上の二つの焦点からの距離の差が一定となる曲線である 』と定義されています。この定義に従って双曲線の軌道を求め、それを「双曲線の標準形」で表した式は となります。ここに ａ と ｂ は長さの次元を持つ正の量で、ｂ は ａ と 離心率 εを用いて
' 　　ｂ^２＝ａ^２(ε^２−１)
と表されます (《 楕円、双曲線、放物線の標準形 》 を参照)。

　〔 図 3-6b 〕 に、双曲線の軌道 (茶色の太線) と 漸近線(黒色の線) を、 直交座標系 ( Ｑｘ'ｙ' ) と 直交座標系 ( Ｏｘｙ ) とともに示します。 　曲線に沿って Ｐ点 は次のように移動します。 　双曲線の軌道は、ｘ'軸 について線対称であるとともに、ｙ'軸についても線対称になっています。

　双曲線の形状は、ε の大きさとともに次のように変化します：
（�B）放物線（ε ＝ １）
　円錐曲線の式で ε ＝ １ と置くと
　　　　ｒ ＝ ｓ／(１＋cos θ )
となります。両辺に (１＋cos θ) を乗じ、(直交座標系と極座標系の位置座標) に示した 一番目の変換式；ｘ＝ｒcosφ；を代入すると
　　　　　ｒ＋ｘ＝ｓ
となります。左辺の ｘ を右辺に移項し、両辺を２乗すると
　　　　　ｒ^２＝(ｓ−ｘ)^２
となります。(直交座標系と極座標系の位置座標) から ｒ^２＝ｘ^２＋ｙ^２ となるので、これを左辺に代入して 式を整理すると が得られます。これは 座標系 ( Ｏｘｙ ) の座標成分を用いて表した 放物線の軌道 です。

　〔 図 3-6c 〕 に、放物線の軌道（茶色の太線）を示します。軌道上の Ｐ点 は ｘ軸 と Ａ点で交わり、ｙ軸 と Ｅ点 と Ｅ'点　で交わります。{線分ＯＥの長さ}＝{線分ＯＥ'の長さ}＝ｓ で、{線分ＥＥ'の長さ}＝ｓ／２ です。

　曲線に沿って Ｐ点 は次のように移動します。 　放物線の軌道は ｘ軸 について線対称になっています。

　一番目の例は、地球の表面付近を出発したロケットが地球を周回する運動を扱います。地球からの重力を受けるロケットの運動に 上記の ( 位置の時間的な変化を求める式 ) を適用し、ロケットの位置の時間的な変化を計算します。ここでは、ロケットが地球の大気から受ける接触力については考慮しないことにします。

　地球は半径 Ｒ_Ｅ で質量 Ｍ_Ｅ の静止した球であり、質量が中心 Ｏ の回りに球対称に分布するというモデルを採用します。このとき〔 図 3-4 〕に示すように、Ｏ に静止した質量 Ｍ_Ｅ の質点があり、質量 ｍ の ロケットの Ｐ が 原点Ｏ の周りを楕円軌道に沿って回るという描像を描くことができます。
　ロケットは 初期時刻 ｔ ＝０ で楕円軌道を示した〔 図 3-6a 〕の Ａ を出発し、周期Ｔ の時間を要して楕円に沿って Ａ→Ｃ→Ｂ→Ｃ’→Ａ の順に進みます。初期位置 Ａ は Ｏ から ｒ_０ だけ離れた位置にあるとします。初期速度は Ａ における楕円軌道の接線方向を向きますが、その速度の大きさを ｖ_０ とします。
　離心率が ε ＝０ のとき軌道は円になります。このとき ( 動径 ｒ と 角 θ の時間的な変化を求める式 ) から ｒ ＝ ａ および θ ＝ ２πｔ／Ｔ が得られ、ロケットは等速円運動を行うことが確かめられます。特に ｒ が地球の半径に等しい ( ｒ ＝ Ｒ_Ｅ ) ときのロケットの速度を Ｖ_０ とすれば
　　　Ｖ_０ ＝ (ＧＭ_Ｅ／Ｒ_Ｅ ) ^1/2 ＝ 7.912 × 10 ³ [ｍ／ｓ]　　　　（ 第１の宇宙速度 ）
となり、これは「第１の宇宙速度」と呼ばれています。 　分かり易くするために、ロケットの初期位置 ｒ_０ は 地球半径 Ｒ_Ｅ の ｆ_Ｒ 倍 ( ｒ_０ ＝ ｆ_Ｒ Ｒ_Ｅ ) で、初期速度 ｖ_０ は 第１の宇宙速度 Ｖ_０ の ｆ_Ｖ 倍 ( ｖ_０ ＝ ｆ_Ｖ Ｖ_０ ) であるとします。初期条件をこのように指定すると、ロケットの軌道の離心率 ε は
　　　　　ε ＝ ｆ_Ｒｆ_Ｖ ² − １　　　　　　　　　　　　　（　ロケットの軌道の離心率と初期条件 ）
と表されます ( この式を導く方法は、《 ロケットの軌道の離心率と初期条件 》 を参照 )。同様にして、楕円の半直弦 ｓ と 長半径 ａ についても ｆ_Ｒ と ｆ_Ｖ で表すことができ
　　　　　ｓ ＝ ｆ_Ｒ ²ｆ_Ｖ ²,　ａ ＝ ｆ_Ｒ／(２−ｆ_Ｒｆ_Ｖ ²)　（　ロケットの軌道の半直弦、長半径と初期条件 ）
となります。ロケットが軌道を一周するのに要する時間；周期 Ｔ；は （ ケプラーの第３法則 ） で与えられましたが、これを ｆ_Ｒ と ｆ_Ｖ を用いて表すと
　　　　　Ｔ ＝ 5.057×10³ { ｆ_Ｒ／(２−ｆ_Ｒｆ_Ｖ ² ) } ^3/2　　　（　ロケットの周期と初期条件 ）
となります。

　種々の初期条件について、( 位置の時間的な変化を求める式 ) を用いてロケットの位置の時間変化を数値計算で求めました。 　ｆ_Ｒ と ｆ_Ｖ について、次の５通りの初期条件をとり上げました：
　これらの初期条件のとき、ロケットの軌道の　離心率、無次元量で表した半直弦と長半径、および [ｓ] の単位で表した周期は、〔 表 3-1 〕 に示すようになります：
　それぞれの初期条件について、ロケットが初めの時刻 ｔ ＝ ０ [ｓ] で出発してから１周期までの間に各時刻で辿る位置を、上述した ( 位置の時間的な変化を求める式 ) を用いて計算しました。その結果を 〔 図 3-8 〕 に示します。

　〔 図 3-8 〕に示した時刻 ｔ は次のようです： ◇　初期条件 イ）は、ロケットを地球の表面（ ｒ_０ ＝ Ｒ_Ｅ ）の位置から第１宇宙速度（ ｖ_０ ＝ Ｖ_０ ）で出発させた場合であり、ロケットは地球の表面に沿って円軌道（ 黒色の線で示す ）を描いて飛行します。
◇　初期条件 ロ）は、ロケットを イ）と同じ位置から速さが第１宇宙速度の 1.096倍　で出発させた場合です。このとき、軌道（ 赤色の線で示す ）は 離心率 ε ＝ 0.2 の楕円となります。出発してから半周期後に、ロケットは 地球の中心 Ｏ から 1.5Ｒ_Ｅ だけ離れた位置に来ます。

◇　初期条件 ハ）は、ロケットを高度 ( 地球表面からの高さ ) が 1900ｋｍ の位置から速さが第１宇宙速度の 0.8754倍　で出発させた場合です。このとき、軌道（ 紫色の線で示す ）は 円 ( ε＝ 0 ) になります。
◇　初期条件 ニ）は、ロケットを ハ）と同じ位置から速さが第１宇宙速度で出発させた場合です。このとき、軌道（ 緑色の線で示す ）は 離心率 ε ＝ 0.3 の楕円となります。出発してから半周期後に、ロケットは 地球の中心 Ｏ から 2.414Ｒ_Ｅ だけ離れた位置に来ます。
◇　初期条件 ホ）は、ロケットを ハ）と同じ位置から速さが第１宇宙速度の 1.038倍　で出発させた場合です。このとき、軌道（ 青色の線で示す ）は 離心率 ε ＝ 0.4 の楕円となります。出発してから半周期後に、ロケットは 地球の中心 Ｏ から 3.038Ｒ_Ｅ だけ離れた位置に来ます。

　二番目の例は、太陽の廻りを回る「太陽系の惑星」の運動を扱います。
　水星、金星、火星などの天体は天空を移動する星として観察され、太古からその存在が知られておりました。１６世紀から１７世紀にかけて地動説が唱えられ、これらの天体は太陽の廻りを回る惑星であると考えられるようになりました。その当時に知られていた太陽系の惑星は 水星、金星、地球、火星、木星、土星 の６個でしたが、その後に天王星、海王星の２個の惑星が発見されました。 　万有引力の法則が発見される以前に、ケプラー（ Johannes.Kepler；1571 年-1630年 ）は、天体の運動に関する精密な観測データに基づいて ケプラーの法則 (Kepler's laws) を見出しました。この法則は、次の三つから成ります： 　万有引力を受けて運動する物体の軌道は、円錐曲線で表されることを述べました。ケプラーは、惑星の観測データの解析を通して 円錐曲線の一つである楕円軌道を見出し、これを第１法則としたのです。
　第２法則は、物体の角運動量保存則 から帰結されます。質量ｍ の 物体の角運動量の大きさは ｍｈ ですが、ｈ は動径が空間で描く面積速度 の大きさの２倍に等しく、これが不変な量に保たれるからです。
　第３法則は、太陽系のすべての惑星に共通して成立します。この法則は、次のようにして確かめられます： 　〔 表 3-2 〕 に、現在の観測資料に基づく惑星の太陽を回る軌道の 離心率、軌道の長半径、軌道傾斜角、公転周期、および、質量 について示します。
　軌道面の基準面からの傾き（ 軌道傾斜角 ）はどの惑星とも小さくて（ 最大なのは水星の 約 7° ) 、惑星は全体として基準面とほぼ同じ軌道上を廻っていることが分かります。太陽を回る軌道の離心率は水星（ その離心率は 約 0.2 ) を除いてかなり小さく、軌道の形はかなり円に近い楕円になっています。
　軌道長半径 と 公転周期（ 惑星が太陽に廻りを１周するのに要する時間 ）は、水星、金星、…、天王星、海王星 の順に大きくなります。

　各々の惑星は、太陽と他の（ ７個の ）惑星から重力を受けます。しかし太陽の質量（ 1.989×10 ³⁰ [ｋｇ] ）は惑星の質量に比べて非常に大きいので、一つ一つの惑星はほとんど太陽からの重力だけを受けていると見なされます。すなわち、個々の惑星の運動を ��太陽と一つの惑星から成る系�≠ﾆして近似的に扱うことができます。こうして水星から海王星までの８個の惑星は、各々がそれぞれの 離心率、半直弦、軌道長半径 を有する楕円軌道 ｒ　＝　ｓ／{ １ ＋ ε cos θ } の上を進む運動として表すことができます。
　このような ( 他の惑星の存在を無視して ) 個々の惑星が独立に運動するというモデルでは、��ケプラーの第３法則�≠ﾌ
　　　Ｔ ²／ａ ³ ＝ 一定 ＝ ４π ²／ＧＭ　　　　　　（ 太陽系惑星に関するケプラーの第３法則 )
が正確に成り立ちます。
　この法則の精度を確かめるために、上式の左辺の Ｔ と ａ に〔 表 3-2 〕の観測値を代入し、その値と 右辺の ４π ²／ＧＭ の比が惑星の種類に関係せず １ に等しくなるかどうかを調べます。その結果は １ に極めて近い値で 次のようになります； 　このように第３法則は非常に良い精度で成り立つので、個々の惑星が太陽の廻りを独立に廻ると考えるモデルは有効であることが分かります。

　三番目の例は、地球表面付近に存在する物体の運動を扱います。物体が地球表面 ( 以下、��地表面�≠ﾆもいう ) の付近を運動するときには、物体は地球から 重力、地表面の上方では 大気から接触力、地表面に接触したときには 地表面から接触力を受けます。

　地球は、空間の 点 Ｏ の周りに質量が球対称に分布する 半径 Ｒ_Ｅ の静止した球であるとします。〔 図 3-9a 〕 のように Ｏ を中心とする半径 Ｒ_Ｅ の球を描くと、この球の表面が地球表面を表します。 　〔 図 3-9a 〕において地球球面上にある任意の点を Ｑ とし、原点 Ｏ から Ｑ に向かう位置ベクトルを ｒ_Ｑ とします。Ｑ の位置は、次のような「緯度」と「経度」と呼ばれる二つの角で表示されます。 　続いて〔 図 3-9a 〕において、地球表面の 点Ｑ を原点とするもう一つの直交座標系（Ｑｘｙｚ）を次のように設定します。 　このように定められた直交座標系（Ｑｘｙｚ）では、ｘーｙ 平面 は（緯度 θ _Ｑ と経度 φ _Ｑ で表示される）地球表面の 地点Ｑ における水平な地表面を表し、ｚ軸 の向きは（ 水平面に垂直な ）鉛直上方になります。

　〔 図 3-9b 〕 に、直交座標系（Ｑｘｙｚ）の空間における質量 ｍ の 物体Ｐ および それに作用する重力と接触力を示します。〔 図 〕には、物体Ｐ の質量中心Ｐ の位置を位置ベクトルの ｒ（ 茶色の矢印 ）で、地球から及ぼされる重力を Ｆ ^(remt)（ 赤色の矢印 ）で、空気や地面から及ぼされる 接触力を Ｆ ^(cont)（ 赤色の矢印 ）で示します。
　物体の運動する領域を地球表面のごく狭い範囲に限ることにすれば、重力は近似的に
　　　　　Ｆ ^(remt)　≒　−ｍｇｋ
と表されます。ここに ｋ は ｚ軸 方向の基本ベクトルであり、
　　　　　ｇ ≡ ＧＭ_Ｅ／Ｒ_Ｅ ²　　（ 重力加速度 ）
は地球の表面において（ 物体の単位質量当たりに作用する ）地球の重力の大きさで、「重力加速度」の大きさと呼ばれる量です。
　Ｇ、Ｍ_Ｅ、Ｒ_Ｅ に数値を代入すると、
　　　　　ｇ ＝ 9.83 [ｍ／ｓ²]
となります。
　物体Ｐ の運動方程式として、《 改定 第２章 ー第２ステップー 》 の〈式 2-5〉を用います。この方程式を直交座標系（Ｑｘｙｚ）の座標成分で表せば
　　　ｍ（ｄｖ_ｘ／ｄｔ）＝ { Ｆ ^(cont) }_ｘ,
　　　ｍ（ｄｖ_ｙ／ｄｔ）＝ { Ｆ ^(cont) }_ｙ,
　　　ｍ（ｄｖ_ｚ／ｄｔ）＝ −ｍｇ ＋ { Ｆ ^(cont) }_ｚ
　　　　　　　　（物体Ｐ の運動方程式）
となります。ここに、{ Ｆ ^(cont) }_ｘ、{ Ｆ ^(cont) }_ｙ、{ Ｆ ^(cont) }_ｚ は、物体Ｐ に作用する接触力の ｘ、ｙ、ｚ 成分です。

　地球の表面付近では大気の密度が大きいので、物体は空気から大きな接触力を受けます。さらに物体が地表面に接触するときには、地表面から大きな接触力を受けます。したがって（物体Ｐ の運動方程式）において、通常は接触力 Ｆ ^(cont) は無視できません。
　空気や地面から受ける接触力については、後の章で詳しく述べることにします。ここでは、こうした接触力が全く作用せず重力の作用だけを受ける特別な場合について物体の運動を調べます。このときは、上記の（物体Ｐ の運動方程式）は
　　　ｍ（ｄｖ_ｘ／ｄｔ）＝ 0,
　　　ｍ（ｄｖ_ｙ／ｄｔ）＝ 0,
　　　ｍ（ｄｖ_ｚ／ｄｔ）＝ −ｍｇ 　　（地球の重力だけを受けた場合の物体Ｐ の運動方程式）
となります。
　この運動方程式を解き、時刻　ｔ ＝ ０ における物体Ｐの初期位置 ｒ₀ と初期速度 ｖ₀ を指定してやれば、その後の時刻 ｔ における物体の位置と速度は一通りに定まります。その結果、物体Ｐの速度は
　　　　ｖ_ｘ ＝ ｖ_ｘ0,　　　ｖ_ｙ ＝ ｖ_ｙ0,　　　ｖ_ｚ ＝ ｇｔ ＋ ｖ_ｚ0　　（物体Ｐ の速度）
となり、物体Ｐの位置は
　　　　ｘ ＝ ｖ_ｘ0 ｔ ＋ ｘ₀,　　　ｙ ＝ ｖ_ｙ0 ｔ ＋ ｙ₀,
　　　　ｚ ＝ （１／２）ｇ ｔ ² ＋ ｖ_ｚ0 ｔ ＋ ｚ₀　　　　　　　　　　（物体Ｐ の位置）
となります。ここに ｖ_ｘ0、ｖ_ｙ0、ｖ_ｚ0　および ｘ₀、ｙ₀、ｚ₀ は、それぞれ、初期速度 ｖ₀ と 初期位置 ｒ₀　の ｘ、ｙ、ｚ 成分です。
　これらの解から、次のことが分かります； 　ここで分かり易くするために、時刻 ｔ ＝ ０ [ｓ] で物体Ｐは ｚ軸上の Ｈ（＞０）の位置から大きさ Ｖ₀ の速度で 仰角（ ぎょうかく ) β の方向に投げ出されたとします。この初期条件は
　　　　ｘ₀ ＝ ０,　　　　ｙ₀ ＝ ０,　　　　ｚ₀ ＝ Ｈ、
　　　　ｖ_ｘ0 ＝ Ｖ₀ cosβ,　　ｖ_ｙ0 ＝ ０,　　ｖ_ｚ0 ＝ Ｖ₀ sinβ　　　　　（物体Ｐ の初期条件）
となります。その後の時刻において、物体Ｐは ｘ−ｚ平面 の中で運動します。

　〔 図 3-10 〕 に、Ｖ₀ ＝ 15 [ ｍ／ｓ ] とし、仰角として次の４通り；
　　　　β　＝ 0 deg,　　　45 deg,　　　60 deg,　　　90 deg
に選んだとき、初期時刻 ｔ ＝ ０ [ ｓ ] で位置（ 黒マル ）を出発した物体Ｐのその後の時刻における位置を、それぞれ、〇印 の中が 青色、緑色、赤色、＋印 となっている記号で示します。なお、各々の記号に付してある 時刻 ｔ の数値は、初期時刻 ｔ ＝０ [ｓ] から経過した時間（ 単位は [ｓ] ）を表しています。位置が時間変化する有様を仰角ごとに少し詳しく見ると、次のようになります：

　仰角 β ごとに各時刻における位置を線で結ぶと、物体Ｐの軌道が得られます。（物体Ｐ の位置) の１番目の式と３番目の式から ｔ を消去すると
　　　ｚ ＝ −（１／２）ｇ { ｘ／(Ｖ₀ cos β ) } ² ＋ ( tan β ) ｘ ＋ Ｈ
　　　　　　　　　　　　　　（物体Ｐ の軌道； β ≠ 90 deg )
となります。ここで （物体Ｐ の初期条件 を用いました。これは ｘ−ｚ 平面における��放物線�≠�表しています。一つの地点から投げ出された物体が重力だけの作用を受けるとき、その軌道が放物線を描くことは、教科書などにとり上げられ良く知られています。