運動の三法則 に関する第一の問題、すなわち、『 大きさのある物体を、どのようにして��点�≠ﾆ見なすのか 』について検討します。

　ニュートンの運動の三法則では、物体の運動を 位置、速度、運動量、加速度 という力学量を用いて記述しています： 　位置、速度、運動量、加速度 は、一つの��点�≠ｪ空間を移動するときの運動を表すときに用いられます。物体には��大きさ�≠ｪあるので、その運動を��点の運動�≠ﾆして表すにはどうすれば良いでしょうか ？
　前章では〈物体を代表する点〉を導入し、物体の運動をこの点の運動でもって表すという方法を用いました (《 改定 第１章 ― 第１ステップ― 》 の〔 図 1-3 〕 を参照 ）。すなわち、物体のなかのある場所に目印（マーク）を付けるのです。この目印は十分に小さく��点�≠ﾆ見なされ、その運動を 位置、速度、加速度 といった力学量で正確に表すことができます。ここでは、この方法をそのまま用いることにしましょう。すなわち
とします。物体の内部にとった〈物体を代表する点〉を示す図を 〔 図 2-4 〕 (オレンジ色の丸印) に再掲します。

　こうして 運動の三法則 に関する第一の問題 は、〈物体を代表する点〉を用いる方法で 暫定的 (ざんていてき ) に解決することができます。ただし『〈物体を代表する点〉の位置をどこに定めれば良いのか？ 』という《 改定 第１章 》から持ち越した問題は、依然として未解決のままです。この位置を明確に定めるためには、物体の内部構造を反映したモデルに基づいて算定することが必要であることが示唆されます。

　運動の三法則 に関する第二の問題、すなわち、『 大きさをもった物体に、力がどのように作用するのか 』について検討します。この問題を検討する前に、まず 次の ( ｲ ) と ( ﾛ ) の二つの問題を調べます： 　( ｲ ) と ( ﾛ ) の問題は、結局のところ、物体と物体が及ぼし合う力が「作用・反作用の法則」(運動の第３法則) に従うという結論に帰着します。しかしながら 後の章で述べる 相対運動 を考察するときに、この問題が再び登場します (《改定 第４章 相対運動と見かけの力》) 。
　続いて、運動の三法則 に関する第二の問題；��大きさをもった物体に、力がどのように作用するのか�＝Gを検討します。 　こうして 運動の三法則 に関する第二の問題は、物体の内部をいくつかの部分に分けて考えて、それぞれの部分に作用する力を考慮することが必要であることを示唆します

　ニュートンの運動の三法則に関する第一と第二の問題を検討すると、次のことが示唆されます。すなわち、物体の内部をいくつかの部分に分けて考えて、それぞれの部分が行う運動 と それに作用する力を計算することができるモデルを見出すことです。

　そこで次のようなモデルを導入します。 　〔 図 2-5 〕 の左側に示すように、物体を 思考において、微小な体積の 体積要素 に分割します。それぞれの体積要素は、物体の内部を満たすものと同じ��物質�≠ﾅ構成されています。隣接した体積要素どうしは接触面を通して力を及ぼし合うとともに、離れている体積要素どうしであっても遠隔的な力を及ぼし合います。
　各々の体積要素は、力の作用を受けてその形を変えながら物体の内部領域を移動するでしょう。

　物体の内部に在る体積要素の総数は、(思考によって) 分割した数と同じです。体積要素を小さくするほど、物体の変形や内部の体積要素の運動について詳しい情報が得られます。

　次に、物体のなかの各々の体積要素を、〔 図 2-5 〕 の右側に示すように、もっと小さい体積の粒子 (particle) に置き換えます。図には 粒子 を 灰色の丸印 で示しました。体積要素は互いに接触していますが、粒子はそれよりも小さいので、物体内部で粒子は他の粒子との間に隙間がある分布をします。
　各々の粒子には、それに対応する体積要素に作用するものと同じ力 −接触的な力と遠隔的な力− が作用するものとします。粒子と体積要素とは��１対１�≠ﾉ対応し、粒子は対応する体積要素と同じ質量を持ちます。このようにして という考え方が導入されます。これ以後は、多数の粒子の集まりのことを 粒子系 ( system of particles ) といい、このような観点から物体を捉えた (とらえた) ものを 粒子系のモデル^{（ 注 2-4 ）} と呼ぶことにします。

　私たちが肉眼で見たりして感覚で捉える（とらえる）ことができるものを、��巨視的な あるいは マクロな（ 英語の macroscopic の略 ）対象 �≠ﾆいいます。
　これに対して 原子（atom) や 分子 (molecule) は極めて微小であり、私たちの肉眼で見ることはできません。原子・分子などの私たちの感覚で捉えることのできない微小なものを、��微視的な あるいは ミクロな（ 英語の microscopic の略 ）対象 �≠ﾆいいます。

　物理学では、巨視的な対象の性質や運動は「ニュートン力学」、「電磁気学」、「熱力学」を用いて記述されます。微視的な対象の性質や運動は、「量子力学 (quantum mechanics)」を用いて記述されます。
　巨視的な対象は、その内部に膨大 (ぼうだい) な数の原子・分子を有しています。巨視的な対象の振る舞いは、微視的な対象である原子・分子の膨大な数を統計的に処理することによって導き出されます。微視的な対象と巨視的な対象をつなぐ役割を果たしているのが、「統計力学 (statistical mechanics)」です。

　どんな物質であっても、物質の １モル（１mole）^{( 注 2-5 )} の量をとれば、そのなかには
　　　　　Ｎ_Ａ ＝ 6.022×10²³
の個数の原子や分子が含まれています。ここに Ｎ_Ａ は、アボガドロ定数 と呼ばれる普遍定数です。アボガドロ定数は極めて大きいので、巨視的な対象を（思考的に）多数の体積要素に分割したとき、分割数がかなり大きくても、一つ一つの体積要素には依然として膨大な数の原子・分子が含まれていますす。 　〔 図 2-5 〕に示したように 物体を (思考的に)　分割したとき、 分割する数を増やして体積要素の大きさを相当に小さくしても、通常の状態にある固体、液体、気体では、体積要素と粒子には極めて多数の原子や分子が含まれることが分かります。したがって、物体を構成する��粒子�≠ﾍ巨視的は対象になります。

　粒子系のモデルで導入した粒子は、上述した巨視的な対象です。物体の分割数を相当に大きくすれば、個々の粒子の大きさを十分に小さくすることができます。これによって粒子の運動を力学量；
　　　粒子の位置、速度、加速度
を用いて精度良く計算できるので、物体を構成する個々の粒子に運動の三法則を当てはめることができます。粒子に適用したときの運動の三法則のことを
　��粒子に関する運動の三法則��
と呼ぶことにします。

　物体を構成している粒子に １，２，３，… のように番号を付け、ｉ番目の粒子を、��粒子ｉ�≠ﾆ呼ぶことにします。ここに ｉ は １ から始まり Ｎ で終わる自然数の系列；
　ｉ ＝ １，２，３，… ，Ｎ−１，Ｎ
で、Ｎ は物体のなかの粒子の総数を表します。上述したように、Ｎ として十分に大きな数を選ぶことができます。
　空間における 粒子ｉの位置を 点Ｐ_ｉ とし、 粒子ｉの質量を ｍ_ｉ とします。直交座標系 ( Ｏｘｙｚ ) の原点Ｏを始点とし点Ｐ_ｉを終点とする位置ベクトルを ｒ_ｉ とし、粒子 ｉ に作用する力を Ｆ_ｉ とします。〔 図 2-6 〕 に、これらの力学量を 物体および座標系 とともに示します。

　粒子ｉ に関する運動の三法則 は、次のようになります： ここに Ｆ_ｊｉ は 粒子ｊ が 粒子ｉ に及ぼす力であり、Ｆ_ｉｊ は 粒子ｉ が 粒子ｊ に及ぼす力です。 　粒子に関する運動の三法則は、ニュートンの運動の三法則 < 式 2-1 >、< 式 2-2 >、< 式 2-3 > （《 改定 第２章 −第１ステップ− 》） と同形です。そこで、これらに a を付けて 式の番号 としました。

　粒子系のモデルとして、粒子が物体の内部に閉じ込められれている場合、すなわち、物体が固体の状態にある場合を考えます。

　物体の内部にある 任意の粒子ｉ に着目します。粒子ｉ に関する運動方程式は、< 式 2-2a > に示しました。再掲すれば となります。ここに ｍ_ｉ は粒子ｉの質量、ｒ_ｉ は 直交座標系（ Ｏｘｙｚ ）の 原点Ｏを始点 とした 粒子ｉの位置ベクトル、Ｆ_ｉ は 粒子ｉに作用する力 です。

　粒子ｉに作用する力 Ｆ_ｉ は、二つの力の和； として表すことができます。ここに
　Ｆ_ｉ^(ext)；(物体の外部に在る全ての粒子から
　　　　　　粒子ｉ に及ぼされる力｝
　Ｆ_ｉ^(int)>；(物体の中の他の全ての粒子から
　　　　　　粒子ｉ に及ぼされる力 ｝
です。前者は物体の外部から及ぼされる力なので
　　外力 ( external force )
といい、後者は物体の内部から及ぼされる力なので
　　 内力 ( internal force )
といいます。

　ある時刻において、粒子ｉ は物体の内部の Ｐ_ｉ点 にいるとします。Ｐ_ｉ点 の位置 および 粒子ｉに作用する外力 と 内力を、〔 図 2-7 〕 に (茶色および赤色の) の矢印付きベクトルで示します。〔 図 〕には、物体 と 直角座標系（Ｏｘｙｚ ）を併せて示します。

　上述の (粒子ｉに関する運動方程式）の右辺に、式 (粒子ｉに作用する力を外力と内力の和で表す) を代入すると となります。

　上述の (外力と内力を用いて表した粒子ｉに関する運動方程式）を、物体のなかに在る全ての粒子ｉについて加え合わせます。すると
　　　Σ_ｉ { ｍ_ｉ (d ²ｒ_ｉ／dｔ² ) } ＝ Σ_ｉＦ_ｉ^(ext) ＋ Σ_ｉＦ_ｉ^(int)
　　　　　　　　(粒子ｉに関する運動方程式を加え合わせる）
となります ^{( 注 2-6 )}。 　こうして (粒子ｉに関する運動方程式を加え合わせる) は
　　　Σ_ｉ { ｍ_ｉ (d ²ｒ_ｉ／dｔ² ) } ＝ Ｆ^(ext)
となります。上式の左辺において、和の記号と時間微分の記号を入れ替えれます。個々の粒子の質量は、時間的に変化しない一定の量に保存されるので
　　　(d ² ／dｔ²) { Σ_ｉ (ｍ_ｉｒ_ｉ) } ＝ Ｆ^(ext)　　　　 (粒子ｉに関する運動方程式を加え合わせる)
が得られます。

　ここで次の式で定義される量、すなわち を 物体の 質量中心（center of mass）といいます。これは重要な式なので、式に番号を付けました。

　物体の質量中心の定義式 (< 式 2-4 >) において
　　　ｍ ≡ Σ_ｉ ｍ_ｉ　　（物体の質量)
は、物体の内部に在る全ての粒子の質量を加え合わせたものです。これは 物体の質量 に等しく、粒子が境界面の内部に閉じ込められているので、時間が経過しても一定の量に保たれます。

　時間 ｔ の経過とともに、物体の質量中心 Ｃ の位置は変化します。その位置ベクトル ｒ_Ｃ の時間変化を表す式は、< 式 2-4 > を 上述の (粒子ｉに関する運動方程式を加え合わせる) に代入すれば となります。ここで物体の質量が時間的に変化しない一定の量に保たれることを用いました。〈 式 2-5 〉を 物体の質量中心の運動方程式 といいます。これは重要な式なので式の番号を付けました。

　〔 図 2-8 〕 に、物体の質量中心Ｃ と その位置ベクトル ｒ_Ｃ、物体に作用する外力 Ｆ^(ext) を 物体 および 直交座標系（Ｏｘｙｚ）とともに示します。物体に作用する外力は、質量中心Ｃ を始点とするベクトルとして描いてあります。

　物体の質量中心の位置ベクトル ｒ_Ｃ を時間 ｔ に関して１階だけ微分すると 物体の質量中心の速度ベクトル ｖ_Ｃ になり、２階だけ微分すると 物体の質量中心の加速度ベクトル ａ_Ｃ になります。すなわち
　　ｖ_Ｃ ＝ dｒ_Ｃ／dｔ， ａ_Ｃ ＝ d ²ｒ_Ｃ／dｔ ² ＝ dｖ_Ｃ／dｔ　　（物体の質量中心の速度と加速度）
となります。

　以上のように 粒子系のモデルに基づいて 物体の質量中心と物体に作用する外力 を求めましたが、その結果を用いれば、ニュートンの運動の三法則に関する二つの問題を解決することができます。それについては、次の第３ステップ (《 改定 第２章 −第３ステップ− 》 ）で述べることにします。