相対運動の問題では、空間に基準となる物体を二つ選び出し、それぞれの物体に固定して座標系；
　　　座標系Ａ；( Ｏ_Ａｘ_Ａy_Ａz_Ａ ) および 座標系Ｂ；( Ｏ_Ｂｘ_Ｂy_Ｂz_Ｂ )
を設定します。座標系Ａの 原点Ｏ_Ａ にいる 観察者Ａが眺めている空間 のことを｛ 座標系Ａの空間 ｝といい、座標系Ｂの 原点Ｏ_Ｂ にいる 観察者Ｂが眺めている空間 のことを { 座標系Ｂの空間 } といいます。

　時刻 ｔ において、{ 座標系Ａの空間 } における 一つの物体と物体のなかの一つの物質粒子Ｐ、および、座標系Ａと座標系Ｂ の空間的な配置状態は、[ 図 4-4 ] のようであったとします。ここに です。
　これらのベクトルは、座標成分と基本ベクトルを用いて次のように表されます：

　物質粒子の位置ベクトル ｒ_Ａ および ｒ_Ｂ は、それぞれ、座標系Ａの座標成分（ｘ_Ａ,ｙ_Ａ,ｚ_Ａ）および 座標系Ｂの座標成分（ｘ_Ｂ,ｙ_Ｂ, ｚ_Ｂ）を用いて と表されます。
　{ 座標系Ａの空間 } において 物質粒子の位置ベクトルの座標成分を 時間 ｔ で微分すると、その空間における 物質粒子の速度の座標成分（ ｖ_Ａｘ,ｖ_Ａｙ,ｖ_Ａｚ ）になり、さらにもう一階だけ微分すると、その空間における 物質粒子の加速度の座標成分（ ａ_Ａｘ,ａ_Ａｙ,ａ_Ａｚ ）になります。すなわち
　これと同様な関係が { 座標系Ｂの空間 } において成立します。すなわち、その空間における物質粒子の速度と加速度の座標成分を（ ｖ_Ｂｘ,ｖ_Ｂｙ,ｖ_Ｂｚ ）および（ ａ_Ｂｘ,ａ_Ｂｙ,ａ_Ｂｚ ）とすれば となります。

　原点Ｏ_Ｂの位置ベクトル Ｒ は、座標系Ａの座標成分（Ｒ_ｘ,Ｒ_ｙ,Ｒ_ｚ）を用いて と表されます。
　{ 座標系Ａの空間 } において 原点Ｏ_Ｂの位置ベクトル Ｒ の座標成分を 時間 ｔ で微分すると、その空間における 原点Ｏ_Ｂの速度の座標成分（ Ｖ_ｘ,Ｖ_ｙ,Ｖ_ｚ ）になり、さらにもう一階だけ微分すると、その空間における 原点Ｏ_Ｂの加速度の座標成分（ Ａ_ｘ,Ａ_ｙ,Ａ_ｚ ）になります。すなわち となります。

　上記の [ 図 4-4 ] には、座標系Ａ と 座標系Ｂ の二つの座標系が示されています。ここで とします。座標系は物体に固定して設置されるので、これは『 物体Ａ が静止した状態にある 』ということを意味します。座標系Ａの原点は静止し、座標軸の向きは時間が経過しても変化しません。そのような例を、前ページの [ 図 4-3 ] の (左図) に示しました（ 《 改定 第４章 −第１ステップ− 》）。
　これに対して、もう一方の座標系Ｂは一般には空間で運動している状態になります。そのような例を、前ページの [ 図 4-3 ] の (右図) に示しました（ 《 改定 第４章 −第１ステップ− 》）。電車の車体に固定された座標系Ｂは、観察者Ａが眺めると、レールに沿って移動して行きます。一般的にいえば、座標系Ｂの原点 Ｏ_Ｂ は空間を移動し、その座標軸は原点 Ｏ_Ｂ のまわりに回転します。こうして となります。この運動状態は、座標系Ａの 原点Ｏ_Ａ にいる 観察者Ａ が眺めた { 座標系Ａの空間 } における運動状態です。 　上記の〔 図 4-4 〕に示した座標系Ａの原点の位置と座標軸の向きは、時間が経過しても変化せず、同じ位置と同じ向きを保ちます。他方の座標系Ｂの原点の位置と座標軸の向きは、一般には時間の経過とともにその位置と向きを次のように変化させます。 ここに Ω は、原点Ｏ_Ｂの周りの座標系Ｂの回転の角速度 です。この式の右辺は、角速度 Ω と 座標系Ｂの基本ベクトル の外積 ( 《 ベクトルの外積 》 を参照 ) で表されています。上記の式を導く方法を、( 《 基本ベクトルの時間的な変化 》 ) に示します。
　角速度 Ω の単位時間あたりの変化は、角加速度 Σ になります。すなわち
　　　Σ ＝ ｄΩ／ｄｔ　　　　　　　( 座標系Ｂの原点Ｏ_Ｂの周りの座標系Ｂの回転の角加速度 )
です。{ 座標系Ａの空間 } における Ω の座標成分を（Ω_ｘ,Ω_ｙ,Ω_ｚ）とし、Σ の座標成分を（Σ_ｘ, Σ_ｙ, Σ_ｚ）とすると と表されます。角速度と角加速度の座標成分のあいだには の関係があります。

　上記の〔 図 4-4 〕において、３個の位置ベクトル ｒ_Ａ、ｒ_Ｂ、Ｒ は三角形を形成しており、加法・減法の規則から となります。この式を 時間ｔ について１階および２階の微分を行うと、物質粒子の速度と加速度に関する関係式が得られます。これを導く方法を 《 ベクトルで表した相対運動の式 》 で説明します。

　以上の手順で得られるベクトルで表した 位置の ｒ_Ａ と ｒ_Ｂ に関する関係式、速度の ｖ_Ａ と ｖ_Ｂ に関する関係式、加速度の ａ_Ａ と ａ_Ｂ に関する関係式を総称して、「ベクトルで表した相対運動の式」と呼ぶことにします。まとめて改めて示せば

（�@）ベクトルで表した相対運動の位置に関する関係式：
（�A）ベクトルで表した相対運動の速度に関する関係式：
（�B）ベクトルで表した相対運動の加速度に関する関係式：
となります。
　座標系Ｂの原点Ｏ_Ｂ が直線に沿った直線軌道を描く場合には、Ｏ_Ｂ の速度 Ｖ と 加速度 Ａ はその直線に沿った方向を向きます。しかし Ｏ_Ｂ が曲線に沿った曲線軌道を描く場合には、速度 Ｖ は曲線の接線方向を向き、加速度 Ａ は 曲線の接線方向を向く加速度 Ａ_‖ と 接線方向に直角方向を向く加速度 Ａ_⊥ の和となります。すなわち
　　　　　Ａ ＝ Ａ_‖ ＋ Ａ_⊥　　　（ 接線方向の加速度と接線方向に直角方向の加速度の和；曲線軌道の場合）
となります。

　ベクトルで表した相対運動の式〈 式 4-1a 〉、< 式 4-1b 〉、< 式 4-1c 〉から、座標系Ａの座標成分と座標系Ｂの座標成分を直接に結びつける相対運動の式を導き出すことができます。これを「座標成分で表した相対運動の式」と呼びます。

　座標系Ａの座標軸の向きは基本ベクトルの ｉ_Ａ、ｊ_Ａ、ｋ_Ａ で示され、座標系Ｂの座標軸の向きは基本ベクトルの ｉ_Ｂ、ｊ_Ｂ、ｋ_Ｂ で示されます。二つの座標系のあいだの傾き具合は、３個の基本ベクトルと３個の基本ベクトルから作られる９個の内積 ( 《 ベクトルの内積 》 を参照）で指定されます。各々の内積に記号の Ｉ に数字の添字を付けて と表します。これらを��３行３列の行列�≠ﾌ形に並べ、「変換行列」[ Ｉ ] と その転置行列　^ｔ[ Ｉ ]を作ります。これを 〔 表 4-1 〕 に示します。 　ベクトルは、３個の座標成分（ｘ成分、ｙ成分、ｚ成分）を係数とする基本ベクトルの一次式で表されます。３個の座標成分を��３行１列の行列�≠ﾌ形に表し、相対運動の式に現れるベクトルを行列形式で表した座標成分に置き換えれば、「座標成分で表した相対運動の式」が得られます。
　相対運動の式は、位置に関する関係式、速度に関する関係式、加速度に関する関係式の三つから成り、��行列の積および行列の和�≠ﾌ演算という形式で表されます（《 行列の演算 》 を参照 ）。相対運動の式を導く方法を 《 座標成分で表した相対運動の式 》 で説明します。その結果は、次のようになります：

（�@）座標成分で表した相対運動の位置に関する関係式：
〈 式 4-1b 〉は、二つの座標成分；
　　　{ 座標系Ａにおける相対運動の位置の座標成分 } と { 座標系Ｂにおける相対運動の位置の座標成分 }
のあいだの関係を表すものです。この式の左辺は３行１列の行列であり、右辺は第１項と第２項の和をとれば３行１列の行列になります。両辺を等値して
　　　［ ｘ_Ａとｘ_Ｂ の関係、ｙ_Ａ と ｙ_Ｂ の関係、ｚ_Ａ と ｚ_Ｂ の関係 ］
が得られます。

（�A）座標成分で表した相対運動の速度に関する関係式：
〈 式 4-2b 〉は、二つの座標成分；
　　　{ 座標系Ａにおける物質粒子の速度の座標成分 } と { 座標系Ｂにおける物質粒子の速度の座標成分 }
のあいだの関係を表すものです。両辺を等値すれば
　　　［ ｖ_Ａｘ と ｖ_Ｂｘ の関係、ｖ_Ａｙ と ｖ_Ｂｙ の関係、ｖ_Ａｚ と ｖ_Ｂｚ の関係 ］
が得られます。

　 <式 4-2b 〉の右辺第２項目にある Ｊ_ｘ、Ｊ_ｙ、Ｊ_ｚ は、変換行列［ Ｉ ］と位置の座標成分との一次式で表され となります (《 座標成分で表した相対運動の式 》を参照)：

（�B）座標成分で表した相対運動の加速度に関する関係式
〈 式 4-3c 〉は、二つの座標成分；
　　　{ 座標系Ａにおける物質粒子の加速度の座標成分 } と { 座標系Ｂにおける物質粒子の加速度の座標成分 }
のあいだの関係を表すものです。両辺を等値すれば
　　　［ ａ_Ａｘ と ａ_Ｂｘ の関係、ａ_Ａｙ と ａ_Ｂｙ の関係、ａ_Ａｚ と ａ_Ｂｚ の関係 ］
が得られます。

　〈 式 4-3c 〉の右辺第四項目にある Ｋ_ｘ、Ｋ_ｙ、Ｋ_ｚ は、変換行列［ Ｉ ］と速度の座標成分との一次式で表され となります (《 座標成分で表した相対運動の式 》を参照)：


　以上に示した < 式 4-1b >、< 式 4-2b >、< 式 4-3b > (それぞれ、[ 表 4-2 ]、[ 表 4-3 ]、[ 表 4-4 ]) が 、相対運動における座標成分で表した物質粒子の位置、速度、加速度の関係式です。

　座標成分で表した物質粒子の位置、速度、加速度の関係式 < 式 4-1b >、< 式 4-2b >、< 式 4-3b > に現れる量は、(座標系Ａの空間) と (座標系Ｂの空間) における物質粒子の位置、速度、加速度の座標成分、および、(座標系Ａの空間) における座標系Ｂの運動を表す量（ 原点 Ｏ_Ｂ の速度と加速度の座標成分、Ｏ_Ｂ のまわりの座標軸の回転の角速度と角加速度の座標成分 ) です。これらの量は一般には時間 ｔ とともに変化します。
　しかしながら 位置、速度、加速度の関係式に現れるこれらの量は、同じ時刻 ｔ に揃えた（ そろえた ）量であることに注意する必要があります。