第４章ステップ１

　ホームページの《改定第１章　物体の運動をどのように表すか》の《第１ステップ》において、私たちが観察する物体のさまざまな運動の例をとり上げました（》）。この例から、物体の運動について次のことが導かれます。
　観察される物体の運動の状態は、二つに大別されます。一つは物体が〝静止した状態〟にある場合で、もう一つは物体が〝動いている状態〟にある場合です。

〇　物体が静止した状態といっても、『物体のあらゆる部分が静止した状態』である場合もあれば、『物体は全体としては静止しているが、物体の各部分が動いている状態』である場合もあります。そこで《改定第３章》で導入した「物体の質量中心」( 》 ) を用い、物体の二つの運動の状態を単純に次のように分類します。すなわち
　　　　『物体の質量中心が静止しておれば、物体は静止した状態にある』
　　　　『物体の質量中心が動いておれば、物体は動いている状態にある』
とします。

　相対運動の問題を考えるために、《改定第１章－第１ステップ－》とは別の風景として、郊外を走る電車を眺めたときの風景をとり上げてみます。これを〔図 4-1a 〕に示します。

〇平野部を一両の電車がレールに沿って走行し、レールと平行に道路を挟んで（はさんで）歩道が延びています。この歩道の上に立ち止まった人が、走行する電車を眺めています。電車を眺めている人の傍には、鉛直に立てられた街灯があり、歩道の上を歩行者が歩いています。道路の上を一台の自動車が電車と同じ方向に走行し、上空には一羽の鳥が飛んでいます。遠方には山の嶺が連なって見えています。
　歩道の上で立ち止まって電車を眺めている ( 黄色の帽子をかぶった）人は、諸物体の運動状態を次のように観察するでしょう。

・電車の「レール」、「道路」、「歩道」、「街灯」、遠方に見える「山々」などは、〝静止した状態〟である。
・歩道の上を歩く ( 赤紫色の上着を着た ) 人は、〝動いている状態〟である。
・「電車」、電車の「運転手」、電車の窓際の席に座って外を眺めている ( 帽子をかぶった）「人」やその他の「乗客」は、電車の車体とほぼ同じ速さで電車の進む方向に〝動いている状態〟である。
・「自動車」は電車と同じ方向に〝動いている状態〟である。

　一方、電車に乗っている人は、電車の内部および窓を通して電車の外部の景色を眺めます。この人が見る風景は、〔図 4-1b 〕 に示すようになります。

〇電車の車両に固定して備え付けられた床、壁面、窓、ドア、天井、座席などがあり、運転者や乗客は座席に座っていたり、あるいは床の上を歩いたりしています。
　乗客が窓を通して電車の外を眺めると、道路、歩道、街灯、道路を走行する自動車、歩道で立ち止まったり歩いたりしている人を見ます。
　電車の前側の窓際の席に座って外を眺めている ( 緑色でひさしが赤い帽子をかぶった）人は、諸物体の運動状態を次のように観察するでしょう。

・「床」、「天井」、「壁面」、「窓」、「ドア」、「座席」、「座席に座っている乗客」などは、〝静止した状態〟である。
・電車に中で「歩いている乗客」は、〝動いている状態〟である。
・窓から外を眺めた風景のうち、電車の「レール」、「道路」、「歩道」、「街灯」、「歩道の上に立った ( 黄色の帽子をかぶった）人」などは、電車の進行方向と反対の向きに〝動いている状態〟である。

　〔図 4-1a 〕に示された風景は、歩道の街灯の傍で立っている〝 ( 黄色の帽子をかぶった）人〟が眺めた風景です。この人のことを〝観察者Ａ〟と呼ぶことにします。また〔図 4-1b 〕に示された風景は、電車の前方の座席に座っている〝 ( 緑色でひさしが赤い帽子をかぶった）人〟が眺めた風景です。この人のことを〝観察者Ｂ〟と呼ぶことにします。
　観察者Ａと観察者Ｂが眺めている諸々の物体は、観察者の視界が邪魔されない限り、基本的には同じものです。道路、歩道、街灯、自動車、歩道の上を歩く人、鳥、山々、電車の窓やドア、電車内部の床の上を歩く人、電車の運転手など。
　同じ物体であっても、その運動状態が〝静止している状態〟と観察されたり〝動いている状態〟と観察されたりします。このことは、私たちが日常においてしばしば経験するところです。

　同じ物体であっても、観察者Ａと観察者Ｂではその運動状態が〝静止している状態〟と観察されたりあるいは〝動いている状態〟と観察されたりするのは何故なのでしょうか？
　それに答えるには、観察者Ａと観察者Ｂのそれぞれが〝どんな物体を基準にして運動状態を観察しているのか？〟を明らかにする必要があります。

　どんな風景を眺めているときでも、私たちは観察される風景のなかに、何らかの『静止した状態』を保っている物体が存在していると考えます。この〝静止した状態を保っている物体〟のことを、「基準となる物体」と呼ぶことにします。

〇〔図 4-1a 〕の風景から観察者Ａの周辺の部分を抜き出したものを、〔図 4-2a 〕 に示します。
No2a;　歩道で電車の走行を観察する人

　この図において、電車のレール、道路、歩道は互いに連結して静止の状態を保っています。そこで
　 「電車のレール－道路－歩道」
のひと続きの物体を選び、これらを併せて「基準となる物体Ａ」と呼ぶことにします。
　観察者Ａは、基準となる物体に対して静止した状態にあります。ゆえに〔図 4-1a 〕に示した風景は、この観察者Ａが観察した風景と言うことができます。

・観察者Ａは基準となる物体Ａのすぐ近くに立っています。もし観察者Ａが基準となる物体Ａからもう少し離れたところに立っていれば、この人が観察する風景は少しだけ異なったものになります。
　観察者の位置を正確に特定するならば、その人の目の位置が基準となる物体Ａのなかの一つの点（直ぐ後で説明する座標系Ａの原点Ｏ_Ａの位置）に一致させる必要があります。しかし以後では簡単のため、〔図 4-1a 〕に示した風景は観察者Ａが眺める風景と言うことにします。

〇〔図 4-1b 〕の風景から観察者Ｂの周辺の部分を抜き出したものを、〔図 4-2b 〕 に示します。
No2b;　電車の座席に座って観察する人

　この図において、車体の天井、床、側面は互いに連結して静止の状態を保っています。そこで
　 「車体の天井－床－側面」
のひと続きの物体を選び、これらを併せて「基準となる物体Ｂ」と呼ぶことにします。
　観察者Ｂは、基準となる物体に対して静止した状態にあります。ゆえに〔図 4-1b 〕に示した風景は、この観察者Ｂが観察した風景と言うことができます。

・観察者Ｂは基準となる物体Ｂのすぐ近くの座席に座っています。もし観察者Ｂが基準となる物体Ｂからもう少し離れたところに座っていれば、この人が観察する風景は少しだけ異なったものになります。
　観察者の位置を正確に特定するならば、その人の目の位置が基準となる物体Ｂのなかの一つの点（直ぐ後で説明する座標系Ｂの原点Ｏ_Ｂの位置）に一致させる必要があります。しかし以後では簡単のため、〔図 4-1b 〕に示した風景は観察者Ｂが眺める風景と言うことにします。

　このように観察者Ａが選んだ基準となる物体Ａ ( 電車のレール－道路－歩道 ) と観察者Ｂが選んだ基準となる物体Ｂ ( 車体の天井－床－側面 ) が異なっている場合には、観察する物体が同じであっても、それが〝静止している状態〟として観察されたり、あるいは、〝動いている状態〟として観察されたりします。

　こうして次の結論を得ます：

『観察される物体の運動の状態（静止しているか、動いているか、また、動いていればどんな速度や加速度で動いているか）は、一通りではなく、基準となる物体の選び方によって異なる。』

　言い換えれば『物体の運動は、基準となる物体の選び方に依存する相対的なものである』、あるいは、さらに簡潔に述べれば

　　『すべての運動は相対運動 ( relative motion ) である。』

となります。

〇　私たちは日常において、〔図 4-1 〕に示した道路、歩道、レールなどが静止していることを認めます。これに対して、動いている電車の窓から外を眺めて道路、歩道、レールなどが動いているように見えたとき、それらは実際に動いているのではなくて、見た人がそのように感じるだけ、あるいは、目の錯覚に過ぎない、などと考えたくなります。

　このように考える根拠には、地面の上に敷設した道路、歩道、レールは〝決して動かない〟という前提があります。ところが相対運動の考え方では、どんな物体の運動状態にもそのような前提条件を付けません。物体の運動とは、諸物体から基準となる物体の選んだとき、その基準となる物体から見たときの運動であると考えます。

　観察者と観察者が眺める物体の運動を数量的に表すために、座標系を用います（座標系については、》を参照）。

　上述した「電車のレール－道路－歩道」のひと続きの物体Ａに固定して、「座標系Ａ」を次のように設定します：

・街灯が歩道の表面と交わる点を原点Ｏ_Ａと定めます。Ｏ_Ａを通り道路との境界に立てられたブロックの列に沿った方向をｘ_Ａ軸、これに直角で道路の面に沿った方向を y_Ａ軸、ｘ_Ａ－ｙ_Ａ平面に垂直で街灯の柱に沿った方向を z_Ａ軸とします。

　次に、「車体の天井－床－側面」のひと続きの物体Ｂに固定して、「座標系Ｂ」を次のように設定します：

・電車の車体の床面が前方のドアに接する柱と交わる点を、原点Ｏ_Ｂと定めます。Ｏ_Ｂを通り床面と前方の枠の下端に沿った方向をｘ_Ｂ軸、これに直角で床面の面に沿った方向を y_Ｂ軸、ｘ_Ｂ－ｙ_Ｂ平面に垂直で前方のドアに接する柱に沿った方向を z_Ｂ軸とします。

　このように定めた座標系Ａと座標系Ｂを、簡潔に（Ｏ_Ａｘ_Ａy_Ａz_Ａ）および（Ｏ_Ｂｘ_Ｂy_Ｂz_Ｂ）と表し、それぞれ、〔図 4-3 〕 の左図と右図に示します。

◇　〔図 4-3 〕に示した座標系Ａと座標系Ｂは、対応する座標軸が平行な向き、すなわち
　　　ｘ_Ａ軸 ∥ ｘ_Ｂ軸、　　y_Ａ軸 ∥ y_Ｂ軸、　　z_Ａ軸 ∥ z_Ｂ軸
となるように設定されています。

　諸物体の運動を数量的に表すために、座標系を用いる理由は何なのでしょうか？　

〇　観察者Ａと観察者Ｂが眺めた風景は、それぞれ
　　　〔図 4-1a 〕( または〔図 4-2a 〕 ) および〔図 4-1b 〕( または〔図 4-2 〕 )
は、人の目に映じた風景を表しています。これは、画家が対象物をキャンバス上の平面に描くように、目に映った三次元空間の立体を二次元の平面の図に置き換えて描いた「投影図」に相当します ( 》を参照）。
　投影図では、〝観察者に近いところの物体は大きいサイズ〟に描かれ、〝観察者から遠いところの物体は小さいサイズ〟に描かれます。そのため、近くにある物体ほどそれが動く速さは小さく、遠くにある物体ほどそれが動く速さは小さく観察されます。

　座標系Ａ；( Ｏ_Ａｘ_Ａy_Ａz_Ａ）および座標系Ｂ；( Ｏ_Ｂｘ_Ｂy_Ｂz_Ｂ）を用いて物体を記述した場合には、投影図に見られるこのような差異は生じません。座標系の原点からどの距離にある物体についても、その大きさは共通のサイズで記述されます。したがって、原点の近くにある物体も遠くにある物体も共通の速度の基準で表されます。このことが、数量的に表したい場合に座標系を用いる理由です。

　物体とは『その内部が物質で満たされているもの』（）と定義され、さらに、物体の内部は無限小の「物質粒子」の集団で満たされている（）と仮定されました。
　物体の運動は、物体内部の物質粒子の分布状態によって定まる物体の質量中心( 》 ) の運動で代表されます。さらに物体の並進、回転、変形といった運動は、このような物質粒子の集団が行う運動として表されます。

　物体のなかの個々の物質粒子の位置、速度、加速度は、座標系の座標で表されます。相対運動の問題では二つの座標系；座標系Ａと座標系Ｂ；を用いるので、物質粒子の位置ベクトルをｒ、速度ベクトルをｖ、加速度ベクトルをａと記せば、座標系Ａと座標系Ｂでは、それぞれ添字のＡと添字のＢを付けて
　　　ｒ_Ａ、ｖ_Ａ、ａ_Ａ、および、ｒ_Ｂ、ｖ_Ｂ、ａ_Ｂ
と表すことにします。
　次のべーじにおいて、ｒ_Ａとｒ_Ｂの関係式、ｖ_Ａとｖ_Ｂの関係式、ａ_Ａとａ_Ｂの関係式、すなわち、「相対運動の式」を導くことにします（）。