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《 改定 第５章 ―第１ステップ― 》
　第１ステップでは、物体の角運動量 および 力学的エネルギーのうち、物体の角運動量 と その時間的な変化について述べます。

初めに 簡単な例を用いて物体の回転運動を変化させる量である「力のモーメント」という力学量を導きます。続いて、物体に力のモーメントが作用すると 物体の「角運動量」という力学量が変化することを示します。
物体の角運動量
　物体には大きさが≠ｪあるので、物体の力学量を求めるには、物体の内部構造 を考慮する必要があります。[ 改定第２章] ニュートンの運動の三法則 では、物体の内部が微小な粒子で満たされていると考える「粒子系のモデル」を導入しました (《 改定第２章 −第２ステップ− 》) 。
　物体の角運動量は、物体の内部にあるすべての 粒子の角運動量を加え合わせたものです。物体内部の 粒子ｉ の位置ベクトルを ｒｉ とし、粒子ｉ の 運動量を ｐｉ とすれば、二つのベクトルの外積；
　　　　　　ｒｉ× ｐｉ　　　　　　　　　　　　　　　（粒子の角運動量）
は 粒子ｉ の角運動量 になります。粒子ｉの質量を ｍｉ とし 粒子ｉの速度ベクトル を ｖｉ とすれば、ｐｉ ＝ ｍｉｖｉ と表されるので、粒子の角運動量は ｍ{ｒｉ× ｖｉ} と表すこともできます。
　(粒子ｉ の角運動量)を 物体内部のすべての粒子について加え合わせれば、物体の角運動量 が得られます。ゆえに 物体の角運動量 を Ｌ と表記すれば
　　Ｌ ＝ ｉ(ｒｉ× ｐｉ)　　　　　　　　　　　　　（物体の角運動量）
となります。ここに右辺の ｉ( ) は、( ) の中の量を物体内部のすべての粒子ｉについて加え合わせることを意味します＊＊＊＊＊＊。
物体の角運動量の時間的な変化
　上記の（物体の角運動量）の両辺を 時間 ｔ で微分すると
　　　ｄＬ／ｄｔ＝ ｉ｛(ｄｒｉ／ｄｔ) × ｐｉ ＋ ｒｉ × (ｄｐｉ／ｄｔ)｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（単位時間における物体の角運動量の変化量 a）
となります。右辺において、ｄｒｉ／ｄｔ ＝ ｖｉ であり、また ｄｐｉ／ｄｔ ＝ Ｆｉ　であるので、上式は
　　　　　　ｄＬ／ｄｔ＝ ｉ(ｖｉ × ｐｉ ＋ ｒｉ × Ｆｉ)
となり、さらに ｖｉ × ｐｉ ＝ ｍｉ (ｖｉ × ｖｉ) ＝ ０ なので
　　　ｄＬ／ｄｔ＝ ｉ（ｒｉ × Ｆｉ）　　　（単位時間における物体の角運動量の変化量 b）
となります。ここに Ｆｉ は 粒子ｉに作用する力 です。この式の右辺の ｒｉ × Ｆｉ は、粒子ｉ に作用する 力のモーメント( moment of force ) と呼ばれます。

　粒子ｉに作用する力 Ｆｉ は、物体の外部から及ぼされる Ｆｉ(ext) と 物体内部の他の粒子から及ぼされる力 Ｆｉ(int) の和になります。後者の力は、Ｆｉ(int) ＝ ｊＦｉｊ (ただし、Ｆｉｉ＝０ とします) と表されます。これを（単位時間における物体の角運動量の変化量 b）に代入すれば
　　　ｄＬ／ｄｔ＝ ｉ{ｒｉ × Ｆｉ(ext)} ＋ ｉ{ｒｉ × ｊＦｊｉ｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（単位時間における物体の角運動量の変化量 c）
となります。ここに Ｆｊｉ は、粒子ｊ から 粒子ｉ に及ぼす力です。この式の右辺の第２項は、内力がある条件を満足するときには、以下に示すように ゼロ になります：
◇　(単位時間における物体の角運動量の変化量 c）の右辺の第２項は、ｉ と ｊ を入れ替えても式は同じになります。すなわち
　　　右辺の第２項 ＝ ｉ{ｒｉ × ｊＦｊｉ｝＝ ｊ{ｒｊ × ｉＦｉｊ}
となります。ゆえに
　　　右辺の第２項 ＝ (１／２) [ ｉ{ｒｉ × ｊＦｊｉ｝＋ ｊ{ｒｊ × ｉＦｉｊ} ]
　　　　　　　　　 ＝ (１／２) [ ｉ{ｒｉ × ｊＦｊｉ｝− ｊ{ｒｊ × ｉＦｊｉ} ]
　　　　　　　　　 ＝ (１／２) [ ｉ{ｒｉ × ｊＦｊｉ｝− ｉ{ｒｊ × ｉＦｉｊ} ]
　　　　　　　　　 ＝ (１／２) ｉ [(ｒｉ−ｒｊ) × ｊＦｊｉ]
となります。ここで 作用・反作用の法則 Ｆｉｊ ＝ −Ｆｊｉ を用い、また ｉ と ｊ の入れ替えを適宜に行いました。
◇　上記の最後の式において、(ｒｉ−ｒｊ) は 粒子ｉ と 粒子ｊ を結ぶ直線に平行なベクトルです。一方、Ｆｊｉ は粒子ｊ から 粒子ｉ に及ぼされる力です。もし Ｆｊｉ が (ｒｉ−ｒｊ) に平行、すなわち Ｆｊｉ ‖ (ｒｉ−ｒｊ) であるなら、ベクトルの外積の定義から、上記の右辺第２項はゼロになります。　
〔 図 5-1 〕;　物体内部の二つの粒子が及ぼし合う力 　こうして (単位時間における物体の角運動量の変化量 c）の右辺の第２項がゼロになることが確かめられたので、物体の角運動量の時間変化を表す式は
　　ｄＬ／ｄｔ ＝ ｉ{ｒｉ ×Ｆｉ(ext)}
　（単位時間における物体の角運動量の変化量）
となります。

　物体内部の 粒子ｊ と 粒子ｉ が及ぼし合う力に関する条件；
　　　　　Ｆｊｉ ‖ (ｒｉ−ｒｊ)
を文章で述べると
『 物体内部の二つの粒子は、二つの粒子を結ぶ直線の方向に力を及ぼし合う 』（ 注 5-1 ）
となります。これを 〔 図 5-1 〕 に示します。図では、力 Ｆｊｉ および Ｆｊｉ を引力≠ﾆして描いてあります。
　物体の角運動量を時間的に変化させるのは、物体に作用する「力のモーメント」です。上述の物体内部の二つの粒子が及ぼし合う力に関する条件が満足されるなら、物体に作用する外力のモーメントだけが寄与しており、物体に作用する内力のモーメントは寄与しないことが分かります。
（ 注 5-1 ）『 二つの粒子は、二つの粒子を結ぶ直線の方向に力を及ぼし合う 』というのは、作用・反作用の法則よりも狭い条件です。作用・反作用の法則では、二つの粒子は互いに平行な方向に力を及ぼし合うという条件；
　　　　　　　　Ｆｊｉ ‖ Ｆｉｊ
が満足されれば良く、二つの粒子が粒子を結ぶ直線の方向に力を及ぼし合うという条件；
　　　　　　　　Ｆｊｉ ‖ (ｒｉ−ｒｊ)
が満足される必要がないからです。

簡単な例− 水平な床の上に置かれた物体の回転 −
　物体の回転の運動は、物体の各場所に作用する力とどのような関係があるのでしょうか？ この問題を明らかにする手がかりとして、次に述べる簡単な例をとり上げます。

　地表面に固定された水平な床があり、その上に Ａ点 と Ｂ点 で接している 質量Ｍ の物体が乗せられています。この物体には、外部から次のような力が作用しています：
◇　物体の各場所には地球の重力が鉛直下方に作用し、それらを全て加え合わせると、物体の質量中心Ｃ の位置に作用する Ｍｇ に等しくなります（《 改定 第３章 −第１ステップ− 》 を参照 )。ここに ｇ は、地球表面における重力加速度の大きさです。
◇　Ａ点とＢ点を通して、床面から物体に 大きさが ＤＡ と ＤＢ の抗力が鉛直上向きに作用します。
◇　同じＡ点とＢ点を通して、物体から床面に 大きさが ＤＡ' と ＤＢ' の力が鉛直下向きに作用します。作用・反作用の法則から
　　　　　　ＤＡ' ＝ ＤＡ,　ＤＢ' ＝ ＤＢ 　( 接点ＡとＢにおける作用・反作用の法則 )
が成立します。
◇　この物体が静止の状態を保つためには、物体に作用する鉛直方向の力を加え合わせたもの（ 鉛直方向の合力 ) がゼロであることが必要です。そうでないと、物体が鉛直方向に動き始めることになり、静止の状態が保たれなくなります。この条件を式で表すと
　　　　　　ＤＡ ＋ ＤＢ ＝ Ｍｇ　　　　　（ 物体が静止の状態を保つための条件 )
となります。
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　　　この続きは次回にします。(揺海; 2018/10/30）
＃＃＃　 続き　＃＃＃
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