［ 改定 第２章 ］で述べたように、物体の運動は「ニュートンの運動の三法則」に従います（ ［ 改定 第２章 ］ ニュートンの運動の三法則 を参照 ）。ところが前ページに示したように、相対運動では、同じ物体の運動が｛ 座標系Ａの空間 ｝と｛ 座標系Ｂの空間 ｝では異なった運動として観察されます（ 《 改定 第４章―第３ステップ ― 》 ）。それでは、どちらの運動もニュートンの運動の三法則に従うのでしょうか？
　この答えを見出すために、ニュートンの運動の三法則を振り返ってみます。 　物体の運動を数量的に表すために、物体に固定して「座標系」を設定し、物体の運動を ベクトル あるいは 座標成分 を用いて表しました（ ［ 改定 第１章 ］ 物体の運動をどのように表すか を参照 ）。上述した運動の三法則については、座標系を設定して、物体の位置、速度、加速度 および 物体に作用する力 を ベクトル あるいは 座標成分 を用いて表さなければなりません。

　物体の運動が 運動の三法則 に従う場合には、それは一番目の運動の第１法則（ 慣性の法則 ）を満たすことが必要です。そのとき 空間に設定した 座標系のことを「慣性系」といい、また、座標系の空間を「慣性系の空間」といいます。
　相対運動における｛ 座標系Ａの空間 ｝と｛ 座標系Ｂの空間 ｝は、ともに 慣性系の空間 なのでしょうか？ この問題を次に検討します。

　二つの座標系 −座標系Ａと座標系Ｂ− における相対運動の式は、ベクトル あるいは 座標成分 を用いて表されました（ 《 改定 第４章―第２ステップ ― 》 を参照 ）。初めに ベクトルで表した相対運動の式を用いて、{ 座標系Ａの空間における運動方程式 ｝と｛ 座標系Ｂの空間における運動方程式 ｝を比較・検討します。 　 < 式 4-7 > は、左辺が物体の質量 ｍ と座標系Ｂの空間における加速度 ｍａ_Ｂ の積であり、右辺は力の単位を有する二つの量の Ｆ と Ｆ ^(app) の和になっています。この式 は 「座標系Ａの空間における運動方程式」の < 式 4-5 > と同形の方程式です。ゆえに 、< 式 4-7 > を「座標系Ｂの空間における運動方程式」と呼ぶことにします。
　しかしながら < 式 4-7 > の右辺には、物体には 実際の力 Ｆ_Ａ だけでなく、新たに見かけの力の Ｆ ^(app) が現れます。したがって座標系Ｂは、一般には慣性系ではなくて「非慣性系」になります。

　見かけの力 Ｆ ^(app) は、座標系Ａの空間において座標系Ｂが行う加速度運動に伴って生じます（ 《 改定 第４章―第２ステップ ― 》を参照 ）。加速度は四つありますが、それぞれに対応して、加速度と反対向きの次の（１)、(２)、(３)、(４) の四つの見かけの力が存在します。このうち (３) と (４) は、「遠心力」および「コリオリの力」と呼ばれています： 　これら四つの加速度（ ピンク色の矢印付きのベクトル ）と 四つの見かけの力 （ 赤色の矢印付きのベクトル ) を [ 図 4-12 ] に示します。

　座標系Ａの空間における運動方程式 < 式 4-5 > と 座標系Ｂの空間における運動方程式 < 式 4-7 > は、ベクトルを用いて表しました。この運動方程式を 座標成分で表した運動方程式 に書き換えることができます。その結果は 次のようになります： 　以上の < 式 4-9(ｲ) > および < 式 4-9(ﾛ) > が、座標系Ａの空間における運動方程式 と 座標系Ｂの空間における運動方程式 を座標成分で表したものです。座標系Ａは慣性系であり、座標系Ｂは非慣性系です。どちらの座標系においても、物体の位置、速度、加速度の座標成分のあいだには、次の関係が成立します：
　　　　ａ_Ａｘ＝ｄｖ_Ａｘ／ｄｔ,　　ａ_Ａｙ＝ｄｖ_Ａｙ／ｄｔ,　　 ａ_Ａｚ ＝ ｄｖ_Ａｚ／ｄｔ,
　　　　ｖ_Ａｘ＝ｄｘ_Ａ／ｄｔ,　　 ｖ_Ａｙ＝ｄｙ_Ａ／ｄｔ,　　 ｖ_Ａｚ ＝ ｄｚ_Ａ／ｄｔ,
および
　　　　ａ_Ｂｘ＝ｄｖ_Ｂｘ／ｄｔ,　　ａ_Ｂｙ＝ｄｖ_Ｂｙ／ｄｔ,　　 ａ_Ｂｚ ＝ ｄｖ_Ａｚ／ｄｔ,
　　　　ｖ_Ｂｘ＝ｄｘ_Ｂ／ｄｔ,　　 ｖ_Ｂｙ＝ｄｙ_Ｂ／ｄｔ,　　 ｖ_Ｂｚ ＝ ｄｚ_Ｂ／ｄｔ,
　座標系Ａは慣性系と定めたので、その空間では 運動の第２法則 (運動方程式 ) とともに、運動の第一法則 ( 慣性の法則 ) と 運動の第３法則 ( 作用・反作用の法則 ) も満足されます。一方 座標系Ｂは非慣性系なので、その空間では 運動の第一法則 と 運動の第３法則 が満足されません。

　座標系Ａと座標系Ｂがあり、座標系Ａが慣性系であるとします。座標系Ａの空間において、もう一方の座標系Ｂが回転運動をしたり 原点 Ｏ_Ｂ が加速度運動を行う場合には、座標系Ｂは非慣性系になります。しかし 座標系Ｂが 回転運動 や 原点の加速度運動 をしなければ、座標系Ｂ も慣性系になります。
　座標系Ａと座標系Ｂがともに慣性系であるとき、(座標系Ａの空間における物体の運動) と (座標系Ｂの空間における物体の運動) とは、相互にどのように変換されるのでしょうか？ 相対運動の式を用いて、このことを調べてみます。 　座標表示した [ 表 4-10((ｲ) ]、[ 表 4-11((ｲ) ]、[ 表 4-12((ｲ) 〕は ベクトルで表した（ガリレオ変換 ((ｲ)）に対応したものであり、座標表示した [ 表 4-10(ﾛ) ]、[ 表 4-11(ﾛ) ]、[ 表 4-12(ﾛ) 〕は ベクトルで表した（ガリレオ変換 (ﾛ)）に対応したものになっています。

　ここで 見かけの力 および それを受けた物体の運動に関して、具体的な例をいくつか挙げてみます。 （例１）地表面を乗物（電車、自動車など）が直線に沿って等速度で進み、回転をしないとき
（例２）地表面を乗物（電車、自動車など）が直線に沿って等加速度で進み、回転をしないとき （例３）地表面を乗物（電車、自動車など）が曲線軌道を描いて進むとき （例４）空中を乗物（航空機、ロケットなど）が曲線軌道を描いて進み、回転を行うとき （例５）太陽の周りを地球が周回するとき、地球の表面付近の物体の運動 　太陽に近くを周回する水星、金星、火星とともに、地球は質量が小さい惑星です。地球はほぼ球形に近く、太陽の周りを 公転周期 365.24［日］）で回ります。
　[ 図 4-16 ] に、太陽の周りを自転・公転運動する地球のモデル図を、座標系Ａと座標系Ｂ とともに示します。

　図 は見やすくするために、地球の半径 Ｒ _地球 を 地球の公転運動の軌道面の半径 Ｒ _公転 に比べて非常に大きくして描いてあります。地球の中心 Ｏ_Ｂ が公転軌道面上を回るとき、自転軸と ｚ_Ａ軸 とがなす角、すなわち自転傾斜角 β は 23.4 ( °) に保たれます。
　ｚ_Ａ軸 から 角β だけ傾いた地球の中心 Ｏ_Ｂを通る軸は、地球の自転軸です。この軸が地球の表面と交わる点は、北極点の Ｎ と 南極点の Ｓ であり、自転軸に垂直な平面は 地球の赤道面 になります。地球の自転軸の方向に ｚ_Ｂ軸 をとり、原点を通り自転軸に直角の二つの方向に ｘ_Ｂ軸 と ｙ_Ｂ軸 をとって 直交座標系Ｂ；( Ｏ_Ｂｘ_Ｂｙ_Ｂｚ_Ｂ ) を設定します。

　地球表面上の任意の点の位置は、「経度」と「緯度」を用いて表されます。経度と緯度は、次のようにして定められます： 　地球が太陽の周りを自転・公転運動するとき、地球表面の物体に及ぼされる見かけの力を調べてみます ( 詳しくは 《 太陽系惑星の公転・自転運動 》 を参照) 。見かけの力は二つから成り、一つは地球の公転運動に伴って及ぼされもの Ｆ_１^(app) で、もう一つは地球の自転運動に伴って及ぼされるもの Ｆ_２^(app) です。これらは次のように見積もられます。

　上記の（例１）と（例２）では、乗物が��等速度�≠�るいは��等加速度�≠ﾅ直線に沿って走行する場合をとり上げました。この例は、『電車が走行する郊外の風景』として 第１ステップ (《 改定 第４章―第１ステップ ― 》）で述べたものに相当します。そこでは、次のように二つの座標系が設定されました： 　電車は水平なレールの上を、ｘ_Ａ軸 の方向に��直線的�≠ﾉ進みます。電車の運動として「一定の速度で進む場合」と「一定の加速度で進む場合」の二通りをとり上げました。

　『 座標系Ａは慣性系である 』とします。電車が一定の速度で進む場合には、『 座標系Ｂは慣性系 』になります。電車が一定の加速度で進む場合には、『 座標系Ｂは非慣性系 』になります。

　ここで、電車の車体の内部において物体が落下する運動をとり上げます。その運動は次のようです： 　この物体の運動を 座標系Ｂを用いて記述したとき、それは { 座標系Ｂの空間における運動 } になります。またこの運動を 座標系Ａを用いて記述したとき、それは { 座標系Ａの空間における運動 } になります。それぞれの運動は、{ 座標系Ｂの原点の位置で「観察者Ｂ」が眺めている運動 } および {座標系Ａの原点の位置で「観察者Ａ」が眺めている運動 } ということもできます。

　初めに、電車が一定の速度で進む場合を計算します。この場合には 座標系Ｂは慣性系 になるので、座標系Ａと座標系Ｂは (ともに) 慣性系 になります。
　まず 本ページの 運動方程式 < 式 4-9(ﾛ) > を用いて、座標系Ｂの空間における物体の加速度、速度、位置を算出します。続いて 前々ページに示した位置、速度、加速度に関する変換式；< 式 4-1b >、< 式 4-2b >、< 式 4-3b > (《 改定 第４章―第２ステップ ― 》）を用いて、物体の加速度、速度、位置 を (座標系Ｂの空間における) ものから (座標系Ａの空間における) ものに変換します。計算の結果は次のようになります：

座標系Ａと座標系Ｂが (ともに) 慣性系のとき 　電車が等速度で進行する場合には、このように 座標系Ａと座標系Ｂが (ともに) 慣性系になり、座標系Ａの空間における物体の位置、速度、加速度 および 座標系Ｂの空間における物体の位置、速度、加速度が得られました。
　ここで 定数の Ｌ_０、Ｌ_２、Ｈ、Ｈ_２ のそれぞれに、次の長さ；
　　　　Ｌ_０＝ 10［ｍ］,　Ｌ_２＝ 5［ｍ］,　Ｈ＝ 1［ｍ］,　Ｈ_２＝ 1.5［ｍ］
を与えます。ここに Ｌ_０ は、初期時刻ｔ＝０ における 原点Ｏ_Ｂ のｘ_Ａ軸方向の位置 (Ｒ_ｘ ) を示します。

　[ 図 4-17 ] に、電車の速度 Ｖ_０ を
　　　　Ｖ_０＝ 16.667［ｍ／ｓ］(＝60［ｋｍ／hour］)
として、時刻 ０≦ｔ≦ｔ_floor の範囲の各時刻における (座標系Ｂの空間における物体の位置）と(座標系Ａの空間における物体の位置）を示します。ここで 重力加速度の大きさ ｇ を
　　　　　　ｇ＝ 9.80［ｍ／ｓ^２］
とし、(座標系Ｂの空間における物体の位置）は ｙ_Ｂ＝０ に平行な ｘ_Ｂ−z_Ｂ 平面の上に、(座標系Ａの空間における物体の位置）は ｙ_Ａ＝Ｅ に平行な ｘ_Ａ−z_Ａ 平面の上に描きました。

　[ 図 4-17 ] では、(座標系Ｂの空間における物体の軌道) を上図に示し、(座標系Ａの空間における物体の軌道）を下図に示してあります。各時刻における物体の位置を (茶色の) 線で結びました。
　次に、電車が一定の加速度で進む場合を計算します。計算の方法は、まず 運動方程式 < 式 4-9(ｲ) > を用いて (座標系Ａの空間における物体の加速度、速度、位置) を算出し、続いて 変換式 < 式 4-1b>、< 式 4-2b>、< 式 4-3b> を用いて (座標系Ｂの空間における 物体の加速度、速度、位置) を求めます。計算の結果は次のようになります：

座標系Ａが慣性系 で 座標系Ｂが非慣性系 のとき

　ニュートン力学は、運動の三法則 −運動の第１法則、運動の第２法則、運動の第３法則− を組み合わせてその 力学の体系 が作られています。したがって運動の三法則は、ニュートン力学を成立させる最も重要で基本的な法則です。
　私たちが住む地球の表面付近で起きる現象の多くは、ニュートン力学によって十分に良い精度で説明されます。これはニュートン力学の有用性を示すとともに、運動の三法則の正当性が示唆されます。しかしながら、以下に述べる重要な問題が浮かび上がってきます： 　それでは、��地球という系が慣性系である�≠ﾆ仮定する根拠は何でしょうか？ 　それでは、��太陽系が慣性系である�≠ﾆ仮定する根拠は何でしょうか？ 　太陽系は 銀河系のなかに存在する 惑星系の一つであって、それは非常にゆっくり銀河系の内部を運動していることが知られています。太陽系そのものも宇宙空間で加速度を行うので、やはり太陽系も��近似的に慣性系である�≠ﾆ判断する必要があります。さらに我が太陽系が属する銀河系は、膨大な数の銀河系の一つに過ぎません。我が太陽系が属する銀河系は宇宙空間で加速度運動を行っているので、その銀河系が正確に慣性系であると断定することはできません。

　慣性系の存在は ニュートン力学を成立させるための基本的な仮定なのですが、��慣性系は宇宙の何処に存在するのか�≠ﾆいった根本的な問題が残されます。その問題をニュートン力学の範囲で解決することは困難で、相対性理論などもっと一般的な力学体系を用いて説明することが必要になります。